Ao resolver graficamente o sistema \left\{\begin{array}{l}x+y=m \\\\ 2 x+2 y=5\end{array}\right. em que m é um número real, obtêm-se duas retas paralelas distintas. Quais são os possíveis valores de m ?
Passo 1
O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x+y=m\\[4pt] 2x+2y=5 \end{cases}
onde m é um número real. Pergunta-se para quais valores de m as duas equações representam duas retas paralelas distintas no plano.]
Passo 2
Primeiro simplifico a segunda equação dividindo ambos os lados por 2. Isso é permitido porque 2\neq0. Dividindo obtemos a mesma informação em forma mais simples:
2x+2y=5 \Longrightarrow x+y=\tfrac{5}{2}.
Portanto as duas equações do sistema são
x+y=m
e
x+y=\tfrac{5}{2}.
Passo 3
Para comparar retas, é útil escrever cada equação na forma explícita y=\text{(coeficiente)}\cdot x + \text{(intercepto)}. Faço isso em cada equação:
Nessa forma, o coeficiente de x é a inclinação (ou coeficiente angular) da reta. Nas duas retas o coeficiente de x é -1, ou seja, ambas têm a mesma inclinação. Quando duas retas têm a mesma inclinação elas são paralelas (podem ser coincidentes ou distintas dependendo do termo constante).
Passo 4
Agora vejo quando são distintas ou coincidentes. As duas retas têm a mesma inclinação -1; elas são coincidentes exatamente quando os termos constantes (os interceptos) são iguais, isto é, quando
m=\tfrac{5}{2}.
Se m=\tfrac{5}{2} então as equações são exatamente a mesma reta (infinitas interseções). Para que sejam paralelas distintas (ou seja, paralelas sem se coincidir), precisamos que os interceptos sejam diferentes, portanto
m\neq \tfrac{5}{2}.
Passo 5
Conclusão curta: qualquer valor de m gera uma reta com mesma inclinação que a segunda; para que as retas sejam paralelas distintas basta que não coincidam, ou seja, que m seja diferente de \tfrac{5}{2}.