Resolva os seguintes sistemas, algébrica e graficamente, e classifique cada um deles em seu caderno.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva o sistema dado de duas maneiras (algébrica e graficamente) e que o classifique. As informações que tenho são as duas equações do sistema:
As perguntas são, portanto:
- Encontrar a solução do sistema por método algébrico.
- Encontrar a solução do sistema por construção/interpretação gráfica (interseção das retas).
- Classificar o sistema (se tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução).]
Passo 2
Explicando o método por substituição (muito usado e simples): a ideia é isolar uma variável numa equação e substituir na outra. Ao isolar uma variável, transformamos o sistema de duas equações em uma equação com uma única incógnita, que dá o valor dessa incógnita. Depois voltamos e encontramos a outra variável. Vou aplicar isso ao sistema.
Passo 3
Isolo
na primeira equação
. Faço as operações passo a passo:
Aqui eu somei
em ambos os lados para deixar
sozinho. Agora tenho
expresso em função de
.
Passo 4
Substituo
na segunda equação
. Substituição passo a passo:
Agora somamos os termos em
:
Portanto a equação vira
Passo 5
Resolvo
para
:
Expliquei: isolei
subtraindo
dos dois lados e depois dividi por
.
Passo 6
Com
, volto à expressão que achei para
, que foi
. Substituindo:
Portanto a solução algébrica do sistema é
.
Passo 7
Verificação (sempre faça isso na prova para evitar erros): substituo
nas duas equações.
Primeira equação:
Primeira equação:
Segunda equação:
Ambas batem, então a solução está correta.
Passo 8
Agora a parte gráfica: transformo cada equação para a forma explícita
(onde
é a inclinação/coeficiente angular e
é o coeficiente linear/intercepto em
). Isso facilita traçar cada reta no plano.
Da primeira equação
:
Logo a primeira reta tem inclinação
e intercepto
. Pontos fáceis para traçar: para
temos
(ponto
); para
temos
(ponto
).
Da segunda equação
:
Logo a segunda reta tem inclinação
e intercepto
. Pontos fáceis: para
temos
(ponto
); para
temos
(ponto
).
Passo 9
Como traçar (instrução prática para o caderno/prova): coloque um sistema de eixos
. Marque os pontos da primeira reta
e
e trace a reta que passa por eles. Marque os pontos da segunda reta
e
e trace a reta que passa por eles. As retas terão inclinações diferentes (
e
), então vão se cruzar numa única interseção.
Passo 10
A interseção das duas retas é exatamente o ponto que encontramos algébrica-mente:
. Você pode ver isso na figura do caderno aproximando a posição:
está entre
e
(mais perto de
), e
entre
e
(mais perto de
). Em provas sem calculadora, às vezes basta obter as coordenadas algébrica-mente e marcar o ponto no gráfico.
Passo 11
Classificação do sistema: comparando as inclinações das retas temos
e
. Como
, as retas não são paralelas e se cortam em exatamente um ponto. Portanto o sistema tem uma única solução. Em terminologia comum: o sistema é compatível determinado (ou sistema linear independente, solução única).
Resposta
Solução algébrica:
Solução gráfica: interseção das retas e
em
Classificação: sistema compatível determinado (uma solução única)
Solução gráfica: interseção das retas
Classificação: sistema compatível determinado (uma solução única)