Resolva os seguintes sistemas, algébrica e graficamente, e classifique cada um deles em seu caderno.
(b) \left\{\begin{array}{l}x-y=1 \\\ x+2 y=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva o sistema dado de duas maneiras (algébrica e graficamente) e que o classifique. As informações que tenho são as duas equações do sistema:
\begin{cases} x - y = 1,\\[4pt] x + 2y = 0. \end{cases}
As perguntas são, portanto:
  1. Encontrar a solução do sistema por método algébrico.
  2. Encontrar a solução do sistema por construção/interpretação gráfica (interseção das retas).
  3. Classificar o sistema (se tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução).]

Passo 2

Explicando o método por substituição (muito usado e simples): a ideia é isolar uma variável numa equação e substituir na outra. Ao isolar uma variável, transformamos o sistema de duas equações em uma equação com uma única incógnita, que dá o valor dessa incógnita. Depois voltamos e encontramos a outra variável. Vou aplicar isso ao sistema.

Passo 3

Isolo x na primeira equação \;x-y=1. Faço as operações passo a passo:
x - y = 1 \implies x = y + 1.
Aqui eu somei y em ambos os lados para deixar x sozinho. Agora tenho x expresso em função de y.

Passo 4

Substituo x = y+1 na segunda equação \;x+2y=0. Substituição passo a passo:
x+2y=0 \implies (y+1)+2y=0.
Agora somamos os termos em y:
(y+1)+2y = 3y+1.
Portanto a equação vira
3y+1=0.

Passo 5

Resolvo \;3y+1=0 para y:
3y = -1 \implies y = -\frac{1}{3}.
Expliquei: isolei y subtraindo 1 dos dois lados e depois dividi por 3.

Passo 6

Com y=-\tfrac{1}{3}, volto à expressão que achei para x, que foi x=y+1. Substituindo:
x = y+1 = -\frac{1}{3} + 1 = -\frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{2}{3}.
Portanto a solução algébrica do sistema é \left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3}\right).

Passo 7

Verificação (sempre faça isso na prova para evitar erros): substituo \left(x,y\right)=\left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3}\right) nas duas equações.
Primeira equação:
x-y = \frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1.
Segunda equação:
x+2y = \frac{2}{3} + 2\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0.
Ambas batem, então a solução está correta.

Passo 8

Agora a parte gráfica: transformo cada equação para a forma explícita y = mx + b (onde m é a inclinação/coeficiente angular e b é o coeficiente linear/intercepto em y). Isso facilita traçar cada reta no plano.
Da primeira equação \;x-y=1:
x-y=1 \implies -y=1-x \implies y=x-1.
Logo a primeira reta tem inclinação m_1=1 e intercepto b_1=-1. Pontos fáceis para traçar: para x=0 temos y=-1 (ponto (0,-1)); para x=1 temos y=0 (ponto (1,0)).
Da segunda equação \;x+2y=0:
x+2y=0 \implies 2y=-x \implies y=-\frac{x}{2}.
Logo a segunda reta tem inclinação m_2=-\tfrac{1}{2} e intercepto b_2=0. Pontos fáceis: para x=0 temos y=0 (ponto (0,0)); para x=2 temos y=-1 (ponto (2,-1)).

Passo 9

Como traçar (instrução prática para o caderno/prova): coloque um sistema de eixos x,y. Marque os pontos da primeira reta (0,-1) e (1,0) e trace a reta que passa por eles. Marque os pontos da segunda reta (0,0) e (2,-1) e trace a reta que passa por eles. As retas terão inclinações diferentes ( 1 e -\tfrac{1}{2}), então vão se cruzar numa única interseção.

Passo 10

A interseção das duas retas é exatamente o ponto que encontramos algébrica-mente: \left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3}\right). Você pode ver isso na figura do caderno aproximando a posição: x está entre 0 e 1 (mais perto de 1), e y entre -1 e 0 (mais perto de 0). Em provas sem calculadora, às vezes basta obter as coordenadas algébrica-mente e marcar o ponto no gráfico.

Passo 11

Classificação do sistema: comparando as inclinações das retas temos m_1=1 e m_2=-\tfrac{1}{2}. Como m_1\neq m_2, as retas não são paralelas e se cortam em exatamente um ponto. Portanto o sistema tem uma única solução. Em terminologia comum: o sistema é compatível determinado (ou sistema linear independente, solução única).

Resposta

Solução algébrica: \left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3}\right)
Solução gráfica: interseção das retas y=x-1 e y=-\tfrac{x}{2} em \left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3}\right)
Classificação: sistema compatível determinado (uma solução única)

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