A questão pede para resolver em R a inequação |x-1/2x+1/2|<1. O conteúdo envolve inequações com valor absoluto aplicado a uma expressão racional. Vamos precisar determinar o domínio da expressão, usar a propriedade |A|<1iff A^2<1 e resolver a desigualdade resultante.
Passo 2
Primeiro, identificamos o domínio da expressão racional. Como temos x+1/2 no denominador, deve valer x+1/2neq 0, ou seja, xneq -1/2.
Passo 3
Usamos a propriedade do valor absoluto: para qualquer expressão A, |A|<1 é equivalente a A^2<1. Aqui A=x-1/2x+1/2, logo queremos
(x-1/2x+1/2)^2<1
Multiplicamos ambos os lados por (x+1/2)^2, que é sempre positivo (exceto em x=-1/2, mas isso já excluímos do domínio), e obtemos (x-1/2)^2<(x+1/2)^2
Expandindo cada quadrado:
x^2 - x + tfrac14 < x^2 + x + tfrac14
Cancelando x^2 e 1/4 dos dois lados, sobra - x < x
ou
0 < 2x
que implica x>0
Passo 4
Verificamos que x>0 não entra em conflito com o domínio (x=-1/2 está fora de (0,infty)) e conferimos que em x=0 a desigualdade não é satisfeita (dá igualdade). Portanto a solução final é