Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
f) $f(x, y)=\left(x^{2}+2 y^{2}\right) e{1-x{2}-y^{2}}
f) $f(x, y)=\left(x^{2}+2 y^{2}\right) e{1-x{2}-y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar os pontos críticos da função
e classificá-los (mínimo local, máximo local ou ponto de sela). O conteúdo é cálculo de múltiplas variáveis: usamos derivadas parciais, identificamos o gradiente, achamos onde ele é zero e depois usamos o Hessiano para classificar cada ponto.
Passo 2
Primeiro a gente calcula as derivadas parciais. Chamando
e
, e escrevendo
, temos produto de função e exponencial:
Passo 3
Em seguida, igualamos o gradiente a zero. Como
nunca é zero, resolvemos:
Dessas equações surgem quatro possibilidades combinadas, que geram os pontos críticos:
Passo 4
Para classificar, calculamos as segundas derivadas gerais e avaliamos o Hessiano em cada ponto. Os resultados são:
- Em
: e , logo mínimo local. - Em
: , logo ponto de sela. - Em
: e , logo máximo local.
Passo 5
Pronto! A gente achou todos os críticos e suas classificações usando derivadas parciais e o teste do Hessiano.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
(0,0) → mínimo local
(±1,0) → ponto de sela
(0,±1) → máximo local
(0,0) → mínimo local
(±1,0) → ponto de sela
(0,±1) → máximo local