circ Determine quais são os pontos críticos de cada função dada e classifique cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
f) $f(x, y)=\left(x^{2}+2 y^{2}\right) e{1-x{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar os pontos críticos da função f(x,y)=(x^2+2y^2)e^1-x^2-y^2 e classificá-los (mínimo local, máximo local ou ponto de sela). O conteúdo é cálculo de múltiplas variáveis: usamos derivadas parciais, identificamos o gradiente, achamos onde ele é zero e depois usamos o Hessiano para classificar cada ponto.

Passo 2

Primeiro a gente calcula as derivadas parciais. Chamando r^2=x^2+y^2 e u=x^2+2y^2, e escrevendo A=e^1-r^2, temos produto de função e exponencial:
fx=2xA(1-u),
fy=2yA(2-u)

Passo 3

Em seguida, igualamos o gradiente a zero. Como A=e^1-r^2 nunca é zero, resolvemos:
2x(1-(x^2+2y^2))=0,
2y(2-(x^2+2y^2))=0
Dessas equações surgem quatro possibilidades combinadas, que geram os pontos críticos:
(0,0),
(pm1,0),
(0,pm1)

Passo 4

Para classificar, calculamos as segundas derivadas gerais e avaliamos o Hessiano em cada ponto. Os resultados são:
  • Em (0,0): fxx=2e, fyy=4e, D=fxxfyy>0 e fxx>0, logo mínimo local.
  • Em (pm1,0): fxx=-4, fyy=2, D<0, logo ponto de sela.
  • Em (0,pm1): fxx=-2e^-1, fyy=-8e^-1, D>0 e fxx<0, logo máximo local.

Passo 5

Pronto! A gente achou todos os críticos e suas classificações usando derivadas parciais e o teste do Hessiano.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(0,0) → mínimo local
(±1,0) → ponto de sela
(0,±1) → máximo local

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