Resolva a equação diferencial sujeito a condição dada.
(a) 2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+2 y=0 ; y(0)=y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2y'' + y' + 2y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0.
Para resolver, vamos (i) encontrar a equação característica, (ii) obter as raízes, (iii) montar a solução geral e (iv) determinar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y=e^{rx}:
2r^2 + r + 2 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática:
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 16}}{4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{15}}{4}.

Passo 4

Como as raízes são complexas r = \alpha \pm i\beta com \alpha = -\tfrac14 e \beta = \tfrac{\sqrt{15}}{4}, a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr) = e^{-x/4}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}x\bigr)+C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}x\bigr)\Bigr).

Passo 5

Aplicando y(0)=0:
y(0)=e^0\bigl(C_1\cdot1 + C_2\cdot0\bigr)=C_1=0.
Então
y(x)=C_2\,e^{-x/4}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}x\bigr).
Derivando e aplicando y'(0)=0:
y'(x)=C_2\,e^{-x/4}\Bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}x\bigr)-\tfrac14\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}x\bigr)\Bigr),
y'(0)=C_2\Bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}\cdot1 - \tfrac14\cdot0\Bigr)=\tfrac{\sqrt{15}}{4}C_2=0 \;\Longrightarrow\;C_2=0.
Portanto não sobra nenhuma constante não nula.

Resposta

A única solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x)=0.

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