Resolver as integrais definidas:
\int_{0}^{1} x^{2}\left(3+2 x^{3}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x^{2}\bigl(3+2x^{3}\bigr)^{2}\,dx.
O conteúdo principal é integração por substituição, pois vemos uma função composta \bigl(3+2x^{3}\bigr) ao quadrado e seu “quase derivado” x^{2}dx.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 3 + 2x^{3}.
Então
\frac{du}{dx} = 6x^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{6}\,du.

Passo 3

Com a substituição, mudam também os limites:
quando x=0, u=3+2\cdot0^{3}=3;
quando x=1, u=3+2\cdot1^{3}=5.
Assim a integral vira
\int_{0}^{1} x^{2}\bigl(3+2x^{3}\bigr)^{2}\,dx = \int_{u=3}^{u=5} u^{2}\,\frac{1}{6}\,du = \frac{1}{6} \int_{3}^{5} u^{2}\,du.

Passo 4

Integramos o polinômio em u:
\int_{3}^{5} u^{2}\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{3}^{5} = \frac{5^{3}}{3} - \frac{3^{3}}{3} = \frac{125 - 27}{3} = \frac{98}{3}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{6}, obtemos
\frac{1}{6}\cdot\frac{98}{3} = \frac{98}{18} = \frac{49}{9}.

Resposta

\int_{0}^{1} x^{2}\bigl(3+2x^{3}\bigr)^{2}\,dx = \frac{49}{9}.

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