1. A temperatura do ponto (x, y) de uma chapa é dada, em ^circ C, pela função
T(x, y)=30+raiz50-x^2-y^2
Determine e represente o domínio de T(x, y) e calcule a temperatura do ponto (3,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função que dá a temperatura em qualquer ponto (x, y) de uma chapa, que é dada por T(x, y) = 30 + raiz50 - x^2 - y^2. Nosso objetivo aqui é:
  1. Determinar e representar o domínio dessa função, ou seja, descobrir para quais valores de x e y a função está definida.
  2. Calcular a temperatura no ponto específico (3, 4).
Vamos precisar entender um pouco sobre funções com raízes quadradas e como elas influenciam o domínio da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a função T(x, y) está definida.
Como temos uma raiz quadrada na função, o que está dentro dela, ou seja, 50 - x^2 - y^2, não pode ser negativo. Porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, e estamos lidando com temperaturas reais aqui.

Passo 3

Então, vamos garantir que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero:
50 - x^2 - y^2 >= 0
Vamos rearranjar essa desigualdade para facilitar a visualização:
x^2 + y^2 <= 50

Passo 4

Essa desigualdade x^2 + y^2 <= 50 descreve um círculo no plano cartesiano com centro na origem (0, 0) e raio raiz50.
Portanto, o domínio de T(x, y) é todos os pontos (x, y) que estão dentro ou na borda desse círculo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a temperatura no ponto (3, 4). Vamos substituir x = 3 e y = 4 na função:
T(3, 4) = 30 + raiz50 - (3)^2 - (4)^2

Passo 6

Primeiro, calculamos os quadrados de x e y:
3^2 = 9 e 4^2 = 16
Substituindo de volta na equação:
T(3, 4) = 30 + raiz50 - 9 - 16 = 30 + raiz25

Passo 7

A raiz quadrada de 25 é 5. Então:
T(3, 4) = 30 + 5 = 35

Resposta

O domínio de T(x, y) é o conjunto de todos os pontos (x, y) que satisfazem x^2 + y^2 <= 50, ou seja, dentro ou na borda de um círculo de raio raiz50 centrado na origem. A temperatura no ponto (3, 4) é 35,^circC.

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