Resolver a integral pela técnica de integração por substituição
QUESTÃO 10. Calcule a integral \int \frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}^{2}+1\right)^{3}} \mathrm{dx}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx
e a técnica indicada é a substituição, pois o denominador depende de x^{2}+1 e o numerador é x, que é proporcional à derivada de x^{2}+1.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{2}+1.
Diferenciando, obtemos
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Em função de u, a integral fica
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = \int \frac{x\,dx}{u^{3}} = \int \frac{\tfrac{1}{2}\,du}{u^{3}} = \frac{1}{2}\int u^{-3}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} + C,
logo
\frac{1}{2}\int u^{-3}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4}u^{-2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u = x^{2}+1, então
-\frac{1}{4}u^{-2} + C = -\frac{1}{4(x^{2}+1)^{2}} + C.

Resposta

\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = -\frac{1}{4(x^{2}+1)^{2}} + C.

Exercícios relacionados