Resolver
\left(y^{2}+x y^{2}\right) y^{\prime}+x^{2}-y x^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y^{2}+x y^{2}\right) y^{\prime}+x^{2}-y x^{2}=0
e pede a solução geral y(x) (ou uma relação implícita entre x e y).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • y^{\prime} significa \dfrac{dy}{dx}.
  • A equação é de primeira ordem e envolve produtos de funções de x e y.
    O objetivo é encontrar a solução geral (constante de integração C incluída).

Passo 2

Primeiro, fatoramos expressões para simplificar a equação. Da equação dada podemos escrever:
(y^{2}+x y^{2})y' + x^{2}-y x^{2}=0.
Colocando fatores em evidência:
y^{2}(1+x)\,y' + x^{2}(1-y)=0.
Isolando y':
y'=\frac{dy}{dx}=-\frac{x^{2}(1-y)}{y^{2}(1+x)}.
Agora percebemos que a equação é separável: todas as expressões em y podem ficar de um lado e as de x do outro.

Passo 3

Separe variáveis multiplicando ambos os lados por \dfrac{y^{2}}{1-y} e por \dfrac{1+x}{x^{2}} adequadamente. Obtemos:
\frac{y^{2}}{1-y}\,dy = -\frac{x^{2}}{1+x}\,dx.
A técnica que vamos usar é integrar ambos os lados. Então precisamos calcular as primitivas de cada lado:
\int \frac{y^{2}}{1-y}\,dy \qquad\text{e}\qquad \int -\frac{x^{2}}{1+x}\,dx.
Para essas integrais é útil decompor as frações por divisão polinomial (ou decomposição em termos mais simples) porque o numerador tem grau maior que o denominador.

Passo 4

Calculemos a integral à esquerda. Primeiro fazemos a divisão
\frac{y^{2}}{1-y}.
Uma forma prática é procurar uma decomposição do tipo
\frac{y^{2}}{1-y} = -y -1 + \frac{1}{1-y},
o que pode ser verificado multiplicando ambos os lados por 1-y. Agora integremos termo a termo:
\int \frac{y^{2}}{1-y}\,dy = \int \bigl(-y -1 + \tfrac{1}{1-y}\bigr)\,dy.
As primitivas de cada termo são:
\int -y\,dy = -\frac{y^{2}}{2},\qquad \int -1\,dy = -y,\qquad \int \frac{1}{1-y}\,dy = -\ln|1-y|.
Portanto
\int \frac{y^{2}}{1-y}\,dy = -\frac{y^{2}}{2} - y - \ln|1-y| + C_1.

Passo 5

Agora a integral à direita. Primeiro decompor
\frac{x^{2}}{1+x} = x -1 + \frac{1}{1+x},
novamente verificado por multiplicação. Então
- \frac{x^{2}}{1+x} = -x + 1 - \frac{1}{1+x}.
Integrando termo a termo:
\int -\frac{x^{2}}{1+x}\,dx = \int \bigl(-x + 1 - \tfrac{1}{1+x}\bigr)\,dx.
As primitivas são:
\int -x\,dx = -\frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx = x,\qquad \int -\frac{1}{1+x}\,dx = -\ln|1+x|.
Logo
\int -\frac{x^{2}}{1+x}\,dx = -\frac{x^{2}}{2} + x - \ln|1+x| + C_2.

Passo 6

Igualando as primitivas (escolhendo uma única constante de integração C que combine C_1 e C_2) obtemos:
-\frac{y^{2}}{2} - y - \ln|1-y| = -\frac{x^{2}}{2} + x - \ln|1+x| + C.
Multiplicando por -1 e reagrupando termos para ficar mais limpo:
\frac{y^{2}}{2} + y + \ln|1-y| = \frac{x^{2}}{2} - x + \ln|1+x| + C,
onde C é a constante arbitrária de integração. Essa é a solução implícita geral da equação diferencial.

Resposta

\frac{y^{2}}{2} + y + \ln|1-y| = \frac{x^{2}}{2} - x + \ln|1+x| + C

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