Resolver
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
(ou uma relação implícita entre
e
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é a função
. -
significa . - A equação é de primeira ordem e envolve produtos de funções de
e .
O objetivo é encontrar a solução geral (constante de integraçãoincluída).
Passo 2
Primeiro, fatoramos expressões para simplificar a equação. Da equação dada podemos escrever:
Colocando fatores em evidência:
Isolando
:
Agora percebemos que a equação é separável: todas as expressões em
podem ficar de um lado e as de
do outro.
Passo 3
Separe variáveis multiplicando ambos os lados por
e por
adequadamente. Obtemos:
A técnica que vamos usar é integrar ambos os lados. Então precisamos calcular as primitivas de cada lado:
Para essas integrais é útil decompor as frações por divisão polinomial (ou decomposição em termos mais simples) porque o numerador tem grau maior que o denominador.
Passo 4
Calculemos a integral à esquerda. Primeiro fazemos a divisão
Uma forma prática é procurar uma decomposição do tipo
o que pode ser verificado multiplicando ambos os lados por
. Agora integremos termo a termo:
As primitivas de cada termo são:
Portanto
Passo 5
Agora a integral à direita. Primeiro decompor
novamente verificado por multiplicação. Então
Integrando termo a termo:
As primitivas são:
Logo
Passo 6
Igualando as primitivas (escolhendo uma única constante de integração
que combine
e
) obtemos:
Multiplicando por
e reagrupando termos para ficar mais limpo:
onde
é a constante arbitrária de integração. Essa é a solução implícita geral da equação diferencial.