Resolver
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar a função
que satisfaz essa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é
. - A derivada é
. - A equação envolve os fatores
e , logo devemos ter cuidado com o domínio (precisamos de para estar definido; além disso quando dividirmos por ).
O objetivo é encontrar a solução geral(contendo uma constante arbitrária).
Passo 2
Vamos reescrever a equação numa forma padrão em que apareça
sozinho e um termo do tipo
ao lado. Dividindo toda a equação por
(assumindo
e
) obtemos
Simplificando o lado direito:
Portanto a equação fica na forma
com
Agora usamos o método do fator integrante: se
então
tem derivada
. Vamos calcular
.
Passo 3
Calcular o integral de
:
Fazendo a substituição
(então
), obtemos
Assim o fator integrante é
Para simplificar a escrita e porque precisamos de
, escolhemos
tomando domínio onde
tem sinal fixo (por exemplo
ou
); a forma final da solução pode ser escrita usando
com a constante geral ajustável.
Passo 4
Multiplicando a equação padrão por
obtemos
Simplificando o coeficiente do termo em
no lado esquerdo:
Pelo produto derivado sabemos que
logo a equação se transforma em
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Vamos calcular a integral
Calculamos
por partes. Tome
e
. Então
e
. Pela fórmula de integração por partes:
Como
, temos
Agora volte à integral original:
Simplificando:
Portanto
Passo 6
Isolando
(dividindo por
, lembrando que
no domínio considerado):
Podemos escrever a constante arbitrária como
(qualquer número real) — a solução geral contém essa constante. Lembre-se de que esta expressão vale para
com
; se desejar incluir pontos onde
muda de sinal, deve-se tratar separadamente a constante integrante
.