Resolver
(x \ln x) y^{\prime}+y=x^{3}(3 \ln x-1)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x\ln x)\,y'+y=x^{3}(3\ln x-1)
e pede para determinar a função y(x) que satisfaz essa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é y(x).
  • A derivada é y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação envolve os fatores x e \ln x, logo devemos ter cuidado com o domínio (precisamos de x>0 para \ln x estar definido; além disso \ln x\neq0 quando dividirmos por \ln x).
    O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (contendo uma constante arbitrária).

Passo 2

Vamos reescrever a equação numa forma padrão em que apareça y' sozinho e um termo do tipo P(x)\,y ao lado. Dividindo toda a equação por x\ln x (assumindo x>0 e \ln x\neq0) obtemos
y'+\frac{1}{x\ln x}\,y=\frac{x^{3}(3\ln x-1)}{x\ln x}.
Simplificando o lado direito:
\frac{x^{3}(3\ln x-1)}{x\ln x}=x^{2}\,\frac{3\ln x-1}{\ln x}=x^{2}\!\left(3-\frac{1}{\ln x}\right).
Portanto a equação fica na forma
y'+P(x)\,y=Q(x),
com
P(x)=\frac{1}{x\ln x},\qquad Q(x)=x^{2}\!\left(3-\frac{1}{\ln x}\right).
Agora usamos o método do fator integrante: se \mu(x)=\exp\!\big(\int P(x)\,dx\big) então \mu y tem derivada (\mu y)'=\mu Q. Vamos calcular \mu.

Passo 3

Calcular o integral de P(x):
\int P(x)\,dx=\int\frac{1}{x\ln x}\,dx.
Fazendo a substituição t=\ln x (então dt=\dfrac{1}{x}\,dx), obtemos
\int\frac{1}{x\ln x}\,dx=\int\frac{1}{t}\,dt=\ln|t|+\text{const}=\ln|\ln x|+\text{const}.
Assim o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\big(\ln|\ln x|\big)=|\ln x|.
Para simplificar a escrita e porque precisamos de \ln x\neq0, escolhemos \mu(x)=\ln x tomando domínio onde \ln x tem sinal fixo (por exemplo x>1 ou 0<x<1); a forma final da solução pode ser escrita usando \ln x com a constante geral ajustável.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=\ln x obtemos
\ln x\,y'+\frac{\ln x}{x\ln x}\,y=\ln x\cdot x^{2}\!\left(3-\frac{1}{\ln x}\right).
Simplificando o coeficiente do termo em y no lado esquerdo:
\ln x\,y'+\frac{1}{x}\,y=\ln x\cdot x^{2}\!\left(3-\frac{1}{\ln x}\right).
Pelo produto derivado sabemos que
\frac{d}{dx}\big(\ln x\cdot y\big)=\ln x\,y'+\frac{1}{x}\,y,
logo a equação se transforma em
\frac{d}{dx}\big(\ln x\cdot y\big)=x^{2}(3\ln x-1).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\ln x\cdot y=\int x^{2}(3\ln x-1)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Vamos calcular a integral
\int x^{2}(3\ln x-1)\,dx = 3\int x^{2}\ln x\,dx - \int x^{2}\,dx.
Calculamos \int x^{2}\ln x\,dx por partes. Tome u=\ln x e dv=x^{2}\,dx. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx e v=\dfrac{x^{3}}{3}. Pela fórmula de integração por partes:
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx.
Como \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}, temos
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9}.
Agora volte à integral original:
3\int x^{2}\ln x\,dx - \int x^{2}\,dx =3\!\left(\frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9}\right) - \frac{x^{3}}{3}.
Simplificando:
= x^{3}\ln x - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{3} = x^{3}\ln x - \frac{2}{3}x^{3}.
Portanto
\ln x\cdot y = x^{3}\ln x - \frac{2}{3}x^{3} + C.

Passo 6

Isolando y (dividindo por \ln x, lembrando que \ln x\neq0 no domínio considerado):
y = \frac{x^{3}\ln x - \dfrac{2}{3}x^{3} + C}{\ln x} = x^{3} - \frac{2}{3}\,\frac{x^{3}}{\ln x} + \frac{C}{\ln x}.
Podemos escrever a constante arbitrária como C (qualquer número real) — a solução geral contém essa constante. Lembre-se de que esta expressão vale para x>0 com \ln x\neq0; se desejar incluir pontos onde \ln x muda de sinal, deve-se tratar separadamente a constante integrante \mu=|\ln x|.

Resposta

y(x)=x^{3}-\dfrac{2}{3}\,\dfrac{x^{3}}{\ln x}+\dfrac{C}{\ln x}, onde C é constante arbitrária e x>0, \ln x\neq0.

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