Resolver
y^{\prime}=y(x+\sqrt{x y})^{-1}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\dfrac{y}{x+\sqrt{x\,y}}
e pede para resolver (achar a solução geral). Informações e observações úteis que o enunciado fornece:
  • A incógnita é a função y(x) de uma variável real x.
  • Aparece \sqrt{x\,y}, portanto é necessário que o produto x\,y seja não-negativo no domínio em que se procura solução (caso contrário a raiz não é real). Vou trabalhar principalmente no caso x>0 e y\ge0 (ou intervalos onde x\,y\ge0); onde for preciso, destaco condições.
  • Preciso determinar a família de soluções (solução geral) e também possíveis soluções singulares (constantes ou triviais) que surjam ao longo do processo.

Passo 2

Escolher uma substituição que simplifique o termo \sqrt{x\,y}. Uma observação padrão: se tentarmos y=ux (ou seja, u(x)=y(x)/x), então
\sqrt{x\,y}=\sqrt{x\cdot (u x)}=\sqrt{u}\,x,
pois \sqrt{x\cdot u x}=\sqrt{u}\,\sqrt{x^2}=\sqrt{u}\,|x|. Tomarei a região onde x>0 para simplificar |x|=x; depois comentamos outras possibilidades. Então fazemos a substituição
y(x)=u(x)\,x.
Agora calculo y' em função de u:
y'=u+ x\,u'.
Substituo isso na equação original:
u + x\,u' = \dfrac{y}{x+\sqrt{x\,y}} = \dfrac{u x}{x + \sqrt{u}\,x} = \dfrac{u}{1+\sqrt{u}}.
Portanto obtemos a equação para u(x):
u + x\,u' = \dfrac{u}{1+\sqrt{u}}.

Passo 3

Isolo x\,u':
x\,u' = \dfrac{u}{1+\sqrt{u}} - u = u\!\left(\dfrac{1}{1+\sqrt{u}} - 1\right) = u\!\left(\dfrac{1 - (1+\sqrt{u})}{1+\sqrt{u}}\right) = -\dfrac{u\,\sqrt{u}}{1+\sqrt{u}}.
Logo
u' = -\dfrac{u\,\sqrt{u}}{x(1+\sqrt{u})}.
Esta é uma equação separável em u e x, mas fica mais simples se fazermos a substituição
w=\sqrt{u}\quad\Longrightarrow\quad u=w^2.
Então
du = 2w\,dw \quad\text{e}\quad u'=\dfrac{du}{dx}=2w\,\dfrac{dw}{dx}.
Substituindo na equação para u':
2w\,\dfrac{dw}{dx} = -\dfrac{w^3}{x(1+w)}.
Se w=0 identicamente, isso corresponde a u\equiv0 e portanto y\equiv0; essa é uma possível solução constante (vou anotar como solução singular). Para w\neq0 podemos dividir por w e obter
2\,\dfrac{dw}{dx} = -\dfrac{w^2}{x(1+w)}.
Agora separo as variáveis:
2\,\dfrac{1+w}{w^2}\,dw = -\dfrac{dx}{x}.

Passo 4

Integro ambos os lados. Primeiro trato a integral em w:
\int 2\,\dfrac{1+w}{w^2}\,dw = 2\int\!\left(w^{-2}+w^{-1}\right)dw =2\left(-w^{-1}+\ln|w|\right)+C_1.
A integral do lado direito é
\int -\dfrac{dx}{x} = -\ln|x| + C_2.
Igualando (absorvendo constantes numa só C) obtemos
2\left(-\dfrac{1}{w}+\ln|w|\right) = -\ln|x| + C.
Reorganizo para uma forma mais direta. Somo \ln|x| e somo 2/w nos dois lados:
2\ln|w| + \ln|x| - \dfrac{2}{w} = C.
Agora uso w=\sqrt{u} e u=y/x. Note que w^2=u=\dfrac{y}{x}, portanto x w^2 = y. Então \ln|x| + 2\ln|w| = \ln\big(|x| w^2\big) = \ln|y|. Substituindo isso na expressão acima:
\ln|y| - \dfrac{2}{w} = C.
Agora volto a escrever w em termos de x e y: w=\sqrt{u}=\sqrt{\dfrac{y}{x}}. Assim
\dfrac{2}{w} = 2\,\dfrac{1}{\sqrt{y/x}} = 2\sqrt{\dfrac{x}{y}}.
Portanto a solução implícita final é
\boxed{\;\ln|y| - 2\sqrt{\dfrac{x}{y}} = C\;},
onde C é constante arbitrária. Além disso, lembrando o caso que cancelamos: y\equiv0 é também uma solução (desde que se aceite o domínio onde a equação original faz sentido; em y\equiv0 o termo \sqrt{x y} é zero e a equação original vira 0=0, então é solução).

Passo 5

Interpretação e condições de domínio:
  • A forma encontrada é implícita; resolver explicitamente para y em termos de x leva a uma equação transcendental (difícil de isolar y de forma fechada). Para provas e para uso prático, a forma implícita \ln|y| - 2\sqrt{x/y}=C é aceitável como solução geral.
  • As raízes quadradas exigem x\,y\ge0. A dedução acima supôs x>0 ao simplificar \sqrt{x^2}=x; se x<0 deve-se ter y\le0 e proceder com cuidado no sinal da raiz; o resultado implícito continua válido se usar os módulos adequados, mas normalmente reporta-se a solução na região onde x>0 e y>0.
  • Solução trivial/singular: y\equiv0.

Resposta

\ln|y| - 2\sqrt{\dfrac{x}{y}} = C
y\equiv0

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