Resolver
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolver (achar a solução geral). Informações e observações úteis que o enunciado fornece:
- A incógnita é a função
de uma variável real . - Aparece
, portanto é necessário que o produto seja não-negativo no domínio em que se procura solução (caso contrário a raiz não é real). Vou trabalhar principalmente no caso e (ou intervalos onde ); onde for preciso, destaco condições. - Preciso determinar a família de soluções (solução geral) e também possíveis soluções singulares (constantes ou triviais) que surjam ao longo do processo.
Passo 2
Escolher uma substituição que simplifique o termo
. Uma observação padrão: se tentarmos
(ou seja,
), então
pois
. Tomarei a região onde
para simplificar
; depois comentamos outras possibilidades. Então fazemos a substituição
Agora calculo
em função de
:
Substituo isso na equação original:
Portanto obtemos a equação para
:
Passo 3
Isolo
:
Logo
Esta é uma equação separável em
e
, mas fica mais simples se fazermos a substituição
Então
Substituindo na equação para
:
Se
identicamente, isso corresponde a
e portanto
; essa é uma possível solução constante (vou anotar como solução singular). Para
podemos dividir por
e obter
Agora separo as variáveis:
Passo 4
Integro ambos os lados. Primeiro trato a integral em
:
A integral do lado direito é
Igualando (absorvendo constantes numa só
) obtemos
Reorganizo para uma forma mais direta. Somo
e somo
nos dois lados:
Agora uso
e
. Note que
, portanto
. Então
. Substituindo isso na expressão acima:
Agora volto a escrever
em termos de
e
:
. Assim
Portanto a solução implícita final é
onde
é constante arbitrária. Além disso, lembrando o caso que cancelamos:
é também uma solução (desde que se aceite o domínio onde a equação original faz sentido; em
o termo
é zero e a equação original vira
, então é solução).
Passo 5
Interpretação e condições de domínio:
- A forma encontrada é implícita; resolver explicitamente para
em termos de leva a uma equação transcendental (difícil de isolar de forma fechada). Para provas e para uso prático, a forma implícita é aceitável como solução geral. - As raízes quadradas exigem
. A dedução acima supôs ao simplificar ; se deve-se ter e proceder com cuidado no sinal da raiz; o resultado implícito continua válido se usar os módulos adequados, mas normalmente reporta-se a solução na região onde e . - Solução trivial/singular:
.