Resolver
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede encontrar a solução
em função de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A variável independente é
e a função incógnita é . - O coeficiente de
é , que pode ser fatorado. - O lado direito é
. - Deve-se cuidar do ponto
, onde o coeficiente de se anula (logo a solução é válida para ).
Passo 2
Vamos escrever a equação numa forma mais simples para manipular. Primeiro fatoramos o polinômio:
Dividindo a equação original por
(válido para
) obtemos a forma padrão
Aqui
. Nesta forma, a equação é do tipo
com
Passo 3
Método que vamos usar (explicando bem): para uma equação linear de primeira ordem na forma
define-se o fator integrante (ou fator multiplicativo)
Multiplicando toda a equação por
transforma o lado esquerdo na derivada do produto
, isto é
A razão dessa técnica é que integrar uma derivada de produto dá diretamente
, e assim resolvemos para
.
Passo 4
Aplicando o procedimento ao nosso caso, com
, calculamos o fator integrante:
onde usei a identidade
(e estou assumindo
; o sinal absoluto apenas lembra a dependência do logaritmo). Assim
.
Passo 5
Multiplicamos a equação padrão por
. O lado esquerdo fica
porque, verificando,
O lado direito, multiplicado por
, fica
Portanto a equação transformada é
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Para calcular a integral, fazemos a substituição
. Então
e
. A integral fica
Agora integramos termo a termo:
Como havia um sinal negativo em
, soma-se:
Voltando a
(lembre
), obtemos
Logo
Passo 7
Isolando
, multiplicamos por
:
Simplificando termo a termo:
Portanto a solução geral é
válida para
, onde
é constante arbitrária (real ou complexa conforme o contexto).