Resolver
\left(z^{2}+2 z+1\right) y^{\prime}-(z+1) y=z-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(z^{2}+2 z+1\right) y^{\prime}-(z+1) y=z-1
e pede encontrar a solução y em função de z.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável independente é z e a função incógnita é y(z).
  • O coeficiente de y^{\prime} é z^{2}+2z+1, que pode ser fatorado.
  • O lado direito é z-1.
  • Deve-se cuidar do ponto z=-1, onde o coeficiente de y^{\prime} se anula (logo a solução é válida para z\neq -1).

Passo 2

Vamos escrever a equação numa forma mais simples para manipular. Primeiro fatoramos o polinômio:
z^{2}+2z+1=(z+1)^{2}.
Dividindo a equação original por (z+1)^{2} (válido para z\neq -1) obtemos a forma padrão
y^{\prime}-\frac{1}{z+1}\,y=\frac{z-1}{(z+1)^{2}}.
Aqui y^{\prime}=\dfrac{dy}{dz}. Nesta forma, a equação é do tipo y^{\prime}+P(z)\,y=Q(z) com
P(z)=-\frac{1}{z+1},\qquad Q(z)=\frac{z-1}{(z+1)^{2}}.

Passo 3

Método que vamos usar (explicando bem): para uma equação linear de primeira ordem na forma
y^{\prime}+P(z)\,y=Q(z),
define-se o fator integrante (ou fator multiplicativo)
\mu(z)=\exp\!\Big(\int P(z)\,dz\Big).
Multiplicando toda a equação por \mu(z) transforma o lado esquerdo na derivada do produto \mu(z)\,y, isto é
\frac{d}{dz}\big(\mu(z)\,y\big)=\mu(z)\,Q(z).
A razão dessa técnica é que integrar uma derivada de produto dá diretamente \mu y, e assim resolvemos para y.

Passo 4

Aplicando o procedimento ao nosso caso, com P(z)=-\dfrac{1}{z+1}, calculamos o fator integrante:
\mu(z)=\exp\!\Big(\int -\frac{1}{z+1}\,dz\Big)=\exp\!\big(-\ln|z+1|\big)=\frac{1}{z+1},
onde usei a identidade \exp(\ln a)=a (e estou assumindo z\neq -1; o sinal absoluto apenas lembra a dependência do logaritmo). Assim \mu(z)=\dfrac{1}{z+1}.

Passo 5

Multiplicamos a equação padrão por \mu(z)=\dfrac{1}{z+1}. O lado esquerdo fica
\frac{1}{z+1}\,y^{\prime}-\frac{1}{(z+1)^{2}}\,y=\frac{d}{dz}\!\left(\frac{y}{z+1}\right),
porque, verificando,
\frac{d}{dz}\!\left(\frac{y}{z+1}\right)=\frac{y^{\prime}(z+1)-y\cdot 1}{(z+1)^{2}}=\frac{1}{z+1}\,y^{\prime}-\frac{1}{(z+1)^{2}}\,y.
O lado direito, multiplicado por \mu, fica
\frac{z-1}{(z+1)^{3}}.
Portanto a equação transformada é
\frac{d}{dz}\!\left(\frac{y}{z+1}\right)=\frac{z-1}{(z+1)^{3}}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a z:
\frac{y}{z+1}=\int \frac{z-1}{(z+1)^{3}}\,dz + C,
onde C é a constante de integração.
Para calcular a integral, fazemos a substituição u=z+1. Então du=dz e z-1=(u-1)-1=u-2. A integral fica
\int \frac{z-1}{(z+1)^{3}}\,dz=\int \frac{u-2}{u^{3}}\,du =\int\left(\frac{1}{u^{2}}-\frac{2}{u^{3}}\right)\,du.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{1}{u^{2}}\,du=\int u^{-2}\,du=-u^{-1}=-\frac{1}{u},
\int \frac{2}{u^{3}}\,du=2\int u^{-3}\,du=2\left(-\frac{1}{2}u^{-2}\right)=-u^{-2}=-\frac{1}{u^{2}}.
Como havia um sinal negativo em \frac{u-2}{u^{3}}=\frac{1}{u^{2}}-\frac{2}{u^{3}}, soma-se:
\int \left(\frac{1}{u^{2}}-\frac{2}{u^{3}}\right)\,du=-\frac{1}{u}+\frac{1}{u^{2}}+C.
Voltando a z (lembre u=z+1), obtemos
\int \frac{z-1}{(z+1)^{3}}\,dz=-\frac{1}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^{2}}+C.
Logo
\frac{y}{z+1}=-\frac{1}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^{2}}+C.

Passo 7

Isolando y, multiplicamos por z+1:
y=(z+1)\left(-\frac{1}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^{2}}+C\right).
Simplificando termo a termo:
(z+1)\cdot\left(-\frac{1}{z+1}\right)=-1, \qquad (z+1)\cdot\frac{1}{(z+1)^{2}}=\frac{1}{z+1}, \qquad (z+1)\cdot C=C(z+1).
Portanto a solução geral é
y=C(z+1)-1+\frac{1}{z+1},
válida para z\neq -1, onde C é constante arbitrária (real ou complexa conforme o contexto).

Resposta

y=C(z+1)-1+\frac{1}{z+1}

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