Resolver
x \sqrt{1-y^{2}} d x+y \sqrt{1-x^{2}} d y=0 ;\quad y(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x \sqrt{1-y^{2}}\,dx + y \sqrt{1-x^{2}}\,dy = 0
sujeita à condição inicial \;y(0)=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação está escrita em forma diferencial (com dx e dy).
  • A condição inicial é \;y(0)=1.
  • As expressões \sqrt{1-x^{2}} e \sqrt{1-y^{2}} exigem que x e y estejam em intervalos onde esses radicais fazem sentido (ou seja, |x|\le 1 e |y|\le 1), pelo menos onde procuramos a solução contínua que passa por (0,1).

Passo 2

Vamos manipular a equação para deixá-la em uma forma integrável. Primeiro dividimos ambos os lados por \sqrt{1-x^{2}}\sqrt{1-y^{2}} (essa divisão é válida enquanto os radicais forem positivos; veremos o domínio depois):
\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx + \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}\,dy = 0.
Esta forma já está mais simples: são duas parcelas separadas, cada uma envolvendo apenas uma variável com seu diferencial.

Passo 3

Agora reconhecemos uma estrutura diferencial conhecida. Vou calcular a diferencial de \sqrt{1-x^{2}} para ver uma relação útil. Usando a regra da cadeia:
d\big(\sqrt{1-x^{2}}\big)=\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}\cdot(-2x)\,dx = -\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Portanto temos a identidade útil
\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = -d\big(\sqrt{1-x^{2}}\big).
Análogo para y:
\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}\,dy = -d\big(\sqrt{1-y^{2}}\big).

Passo 4

Substituindo essas identidades na equação do Passo 2 obtemos
- d\big(\sqrt{1-x^{2}}\big) - d\big(\sqrt{1-y^{2}}\big) = 0.
Isso é
d\!\left(\sqrt{1-x^{2}} + \sqrt{1-y^{2}}\right) = 0.
Integrando (ou observando que a diferencial nula implica a expressão é constante) segue que existe uma constante C tal que
\sqrt{1-x^{2}} + \sqrt{1-y^{2}} = C.

Passo 5

A condição inicial \;y(0)=1 serve para determinar C. Substituindo x=0 e y=1 temos
\sqrt{1-0^{2}} + \sqrt{1-1^{2}} = 1 + 0 = 1.
Logo C=1 e a relação implícita solução é
\sqrt{1-x^{2}} + \sqrt{1-y^{2}} = 1.

Passo 6

Agora isolamos \sqrt{1-y^{2}}:
\sqrt{1-y^{2}} = 1 - \sqrt{1-x^{2}}.
Para obter y em função de x, elevamos ao quadrado ambos os lados (sempre tomando cuidado com o sinal depois):
1-y^{2} = \big(1 - \sqrt{1-x^{2}}\big)^{2}.
Desenvolvendo o lado direito:
1-y^{2} = 1 - 2\sqrt{1-x^{2}} + (1-x^{2}).
Simplificando:
1-y^{2} = 2 - x^{2} - 2\sqrt{1-x^{2}}.
Isolando y^{2}:
y^{2} = x^{2} - 1 + 2\sqrt{1-x^{2}}.

Passo 7

Escolhemos o sinal correto para y usando a condição inicial \;y(0)=1 (positiva). Assim
y(x)=\sqrt{x^{2}-1+2\sqrt{1-x^{2}}}\quad(\text{escolhendo o ramo positivo}).
Quanto ao domínio: a expressão \sqrt{1-x^{2}} exige |x|\le 1. Além disso, a igualdade original exigia \sqrt{1-y^{2}}=1-\sqrt{1-x^{2}}\ge 0, o que implica \sqrt{1-x^{2}}\le 1 (sempre verdade) e portanto a solução contínua que passa por (0,1) está definida para |x|\le 1. Perto de x=0 o valor de y é positivo, compatível com a condição inicial.

Resposta

\displaystyle y(x)=\sqrt{x^{2}-1+2\sqrt{1-x^{2}}},\qquad |x|\le 1

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