Resolver
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
sujeita à condição inicial
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação está escrita em forma diferencial (com
e ). - A condição inicial é
. - As expressões
e exigem que e estejam em intervalos onde esses radicais fazem sentido (ou seja, e ), pelo menos onde procuramos a solução contínua que passa por .
Passo 2
Vamos manipular a equação para deixá-la em uma forma integrável. Primeiro dividimos ambos os lados por
(essa divisão é válida enquanto os radicais forem positivos; veremos o domínio depois):
Esta forma já está mais simples: são duas parcelas separadas, cada uma envolvendo apenas uma variável com seu diferencial.
Passo 3
Agora reconhecemos uma estrutura diferencial conhecida. Vou calcular a diferencial de
para ver uma relação útil. Usando a regra da cadeia:
Portanto temos a identidade útil
Análogo para
:
Passo 4
Substituindo essas identidades na equação do Passo 2 obtemos
Isso é
Integrando (ou observando que a diferencial nula implica a expressão é constante) segue que existe uma constante
tal que
Passo 5
A condição inicial
serve para determinar
. Substituindo
e
temos
Logo
e a relação implícita solução é
Passo 6
Agora isolamos
:
Para obter
em função de
, elevamos ao quadrado ambos os lados (sempre tomando cuidado com o sinal depois):
Desenvolvendo o lado direito:
Simplificando:
Isolando
:
Passo 7
Escolhemos o sinal correto para
usando a condição inicial
(positiva). Assim
Quanto ao domínio: a expressão
exige
. Além disso, a igualdade original exigia
, o que implica
(sempre verdade) e portanto a solução contínua que passa por
está definida para
. Perto de
o valor de
é positivo, compatível com a condição inicial.