Resolver os limites abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
- A função a ser estudada é a razão de dois polinômios
(numerador) e (denominador). - O ponto de aproximação é
. - Não há figuras nem outras condições adicionais.
Passo 2
Primeira tentativa: aplicar substituição direta (substituir
na expressão) para ver se o limite é imediato. Calcular o numerador e o denominador em
:
Isso dá a forma indeterminada
. Quando aparece
não podemos concluir o valor do limite só pela substituição — é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Estratégia prática e habitual nesse tipo de problema: fatorar numerador e denominador e simplificar fatores comuns. Vou explicar como fatorar cada polinômio:
-
Numerador: reconhecer uma diferença de quadrados.Lembrete rápido:
; aqui e . -
Denominador: fatorar o trinômio
. Procura-se dois números cuja soma é (coeficiente de ) e cujo produto é (termo constante). Esses números são e . Assim: Pode-se verificar multiplicando:.
Passo 4
Substituindo as fatorações na fração original, para
:
Como
nos pontos que realmente importam para o limite (estamos nos aproximando de
, mas não tomando
exatamente), o fator
é diferente de zero e pode ser cancelado. Portanto, para
próximos de
com
,
Explicação conceitual: cancelar é permitido porque estamos tratando do comportamento da função em pontos próximos a
, não do valor exatamente em
(onde a expressão original não está definida).
Passo 5
Agora que a expressão foi simplificada para uma função contínua no ponto de interesse (razão de polinômios cujo denominador não é zero em
), podemos aplicar substituição direta nessa forma simplificada:
Raciocínio: polinômios são contínuos e a razão de duas funções contínuas é contínua onde o denominador é não nulo; portanto o limite é o valor da função simplificada em
.
Passo 6
Dica rápida para a prova: quando obter a forma
, tente primeiro fatorar e simplificar — é rápido e costumam ser questões de exame. Se a fatoração não for óbvia, outra opção é a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador), mas fatorar é geralmente mais rápido e seguro sem calculadora. Força aí — tá no caminho certo!