Resolver os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x^{2}+x-2}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{x^{2}+x-2}.
Informações dadas:
  • A função a ser estudada é a razão de dois polinômios x^{2}-1 (numerador) e x^{2}+x-2 (denominador).
  • O ponto de aproximação é x=1.
  • Não há figuras nem outras condições adicionais.

Passo 2

Primeira tentativa: aplicar substituição direta (substituir x=1 na expressão) para ver se o limite é imediato. Calcular o numerador e o denominador em x=1:
1^{2}-1=0,\qquad 1^{2}+1-2=0.
Isso dá a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Quando aparece \dfrac{0}{0} não podemos concluir o valor do limite só pela substituição — é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Estratégia prática e habitual nesse tipo de problema: fatorar numerador e denominador e simplificar fatores comuns. Vou explicar como fatorar cada polinômio:
  • Numerador: reconhecer uma diferença de quadrados.
    x^{2}-1 = (x-1)(x+1).
    Lembrete rápido: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b); aqui a=x e b=1.
  • Denominador: fatorar o trinômio x^{2}+x-2. Procura-se dois números cuja soma é 1 (coeficiente de x) e cujo produto é -2 (termo constante). Esses números são 2 e -1. Assim:
    x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
    Pode-se verificar multiplicando: (x+2)(x-1)=x^{2}+x-2.

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original, para x\neq 1:
\frac{x^{2}-1}{x^{2}+x-2}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)}.
Como x\neq 1 nos pontos que realmente importam para o limite (estamos nos aproximando de 1, mas não tomando x=1 exatamente), o fator x-1 é diferente de zero e pode ser cancelado. Portanto, para x próximos de 1 com x\neq 1,
\frac{x^{2}-1}{x^{2}+x-2}=\frac{x+1}{x+2}.
Explicação conceitual: cancelar é permitido porque estamos tratando do comportamento da função em pontos próximos a 1, não do valor exatamente em 1 (onde a expressão original não está definida).

Passo 5

Agora que a expressão foi simplificada para uma função contínua no ponto de interesse (razão de polinômios cujo denominador não é zero em x=1), podemos aplicar substituição direta nessa forma simplificada:
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+1}{x+2}=\frac{1+1}{1+2}=\frac{2}{3}.
Raciocínio: polinômios são contínuos e a razão de duas funções contínuas é contínua onde o denominador é não nulo; portanto o limite é o valor da função simplificada em x=1.

Passo 6

Dica rápida para a prova: quando obter a forma \dfrac{0}{0}, tente primeiro fatorar e simplificar — é rápido e costumam ser questões de exame. Se a fatoração não for óbvia, outra opção é a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador), mas fatorar é geralmente mais rápido e seguro sem calculadora. Força aí — tá no caminho certo!

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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