Resolver los siguientes ejercicios por el método de las homogéneas, ó convertirla en homogénea y resolverla según el caso:
x y^prime=y+2 x e^-yx.
(Rta.: ln x=12 e^yx+c )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x y′ = y + 2 x e^{−y/x} usando o método de equações homogêneas, ou seja, converter em forma homogênea e integrar.

Passo 2

Primeiro, dividimos ambos os lados por x para colocar na forma padrão dy/dx = f(y/x):
dydx = yx + 2 e^-yx
Note que o lado direito depende apenas da razão y/x, o que caracteriza uma equação homogênea.

Passo 3

Fazemos a substituição v = y/x, logo y = v x. Então
dy/dx = v + x dv/dx. Substituindo na equação obtém-se:
v + xdvdx = v + 2 e^-v
Cancelamos v em ambos os lados, restando
xdvdx = 2 e^-v

Passo 4

Agora separamos variáveis para integrar:
e^v dv = 2 dxx
Integrando ambos os lados:
integral e^v dv = integral 2 dxx Longrightarrow e^v = 2 ln|x| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, lembrando v = y/x, temos:
e^yx = 2 ln|x| + C
Podemos reescrever a constante para obter a forma pedida. Multiplicando ou ajustando C dá-se
ln|x| = tfrac12 e^yx + C'
once C’ é outra constante arbitrária.

Resposta

\ln|x| = \tfrac12 e^{\tfrac{y}{x} + C}

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