Resolver los siguientes ejercicios por el método de las homogéneas, ó convertirla en homogénea y resolverla según el caso:
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(Rta.:
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(Rta.:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x y′ = y + 2 x e^{−y/x} usando o método de equações homogêneas, ou seja, converter em forma homogênea e integrar.
x y′ = y + 2 x e^{−y/x} usando o método de equações homogêneas, ou seja, converter em forma homogênea e integrar.
Passo 2
Primeiro, dividimos ambos os lados por x para colocar na forma padrão dy/dx = f(y/x):
Note que o lado direito depende apenas da razão y/x, o que caracteriza uma equação homogênea.
Passo 3
Fazemos a substituição v = y/x, logo y = v x. Então
dy/dx = v + x dv/dx. Substituindo na equação obtém-se:
dy/dx = v + x dv/dx. Substituindo na equação obtém-se:
Cancelamos v em ambos os lados, restando
Passo 4
Agora separamos variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
onde C é constante de integração.
Passo 5
Voltando à variável original, lembrando v = y/x, temos:
Podemos reescrever a constante para obter a forma pedida. Multiplicando ou ajustando C dá-se
once C’ é outra constante arbitrária.
Resposta
\ln|x| = \tfrac12 e^{\tfrac{y}{x} + C}