Resolver los siguientes ejercicios por el método de las homogéneas, ó convertirla en homogénea y resolverla según el caso:
2(x^2 y+raiz1+x^4 y^2) d x+x^3 d y=0, (Ayuda: hacer y=z^alpha ). (Rta.: x^4(1+2 C y)=C^2 )

Passo 1

Enunciado y contenido: tenemos la ecuación diferencial
2l(x^2y+raiz1+x^4y^2r)dx + x^3dy = 0
y nos piden resolverla por el método de homogéneas, usando la pista de hacer alguna sustitución del tipo v=x^2y.

Passo 2

Sustitución y derivada: definimos
v = x^2y,
entonces
y = vx^2,
por lo que
dy = dl(vx^2r) = dvx^2 - 2v,dxx^3

Passo 3

Reescritura de la ecuación: sustituimos y y dy en la ecuación inicial:
2l(v + raiz1+v^2r)dx + x,dv - 2v,dx = 0
Al agrupar términos semejantes en dx y dv se simplifica a
x,dv + 2raiz1+v^2,dx = 0

Passo 4

Separación de variables: pasamos todo en v junto y todo en x junto:
dvraiz1+v^2 + 2dxx = 0

Passo 5

Integración: integramos ambos lados
integral dvraiz1+v^2 + 2integral dxx = 0
lo que da
arsinh(v) + 2ln|x| = K,
donde K es la constante de integración.

Passo 6

Volver a variables originales y simplificar: como v = x^2y, tenemos
arsinh(x^2y) + 2ln|x| = K
Tomando sinh en ambos lados y usando e^K=C, se llega a
x^4(1 + 2Cy) = C^2,
que es la forma implícita de la solución general.

Resposta

x{4}(1+2Cy)=C{2}

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