Resolver o problema misto para a equação de calor:
Passo 1
Estamos diante de uma equação de calor 1D não homogênea:
em
, com condição inicial
e BCs
. Para resolver, vamos usar superposição (encontrar uma parte estacionária + parte transiente via separação de variáveis).
Passo 2
Para homogeneizar as condições de contorno, buscamos a solução estacionária
que satisfaça
e
. Integrando duas vezes, achamos
com
e
levando a
Passo 3
Definimos a parte transiente
. Então
satisfaz
com BCs homogêneas
e condição inicial
Passo 4
Aplicando separação de variáveis em
, chegamos ao autovalor
e modos espaciais
com as componentes temporais
Logo cada modo é
Passo 5
Calculamos os coeficientes
pela série de Fourier de
:
Fazendo a integral por partes e simplificando, encontra-se
Isso dá
para
ímpar e, para
,
Passo 6
Portanto a parte transiente é
Somando com a parte estacionária, a solução final fica