Resolver o problema misto para a equação de calor:
& ut-9 ux x=0, (x, t) in(0,3) times R+, & u(x, 0)=0 & u(0, t)=-1, u(3, t)=1

Passo 1

Estamos diante de uma equação de calor 1D não homogênea: ut - 9uxx=0 em 00, com condição inicial u(x,0)=0 e BCs u(0,t)=-1, u(3,t)=1. Para resolver, vamos usar superposição (encontrar uma parte estacionária + parte transiente via separação de variáveis).

Passo 2

Para homogeneizar as condições de contorno, buscamos a solução estacionária h(x) que satisfaça h''(x)=0 e h(0)=-1, h(3)=1. Integrando duas vezes, achamos
h(x)=ax+b,
com b=-1 e 3a-1=1 levando a
h(x)=tfrac23x -1

Passo 3

Definimos a parte transiente v(x,t)=u(x,t)-h(x). Então v satisfaz
vt-9vxx=0,
com BCs homogêneas v(0,t)=0, v(3,t)=0 e condição inicial
v(x,0)=u(x,0)-h(x)=0 -l(tfrac23x-1r)=1-tfrac23x

Passo 4

Aplicando separação de variáveis em v(x,t)=X(x)T(t), chegamos ao autovalor lambdan=(npi/3)^2 e modos espaciais
Xn(x)=sinl(tfracnpi x3r),
com as componentes temporais
Tn(t)=e^-9lambdan t=e^-9(npi/3)^2 t
Logo cada modo é
vn(x,t)=Bn e^-9(npi/3)^2 tsinl(tfracnpi x3r)

Passo 5

Calculamos os coeficientes Bn pela série de Fourier de v(x,0)=1-tfrac23x:
Bn=23integral0^3l(1-tfrac23xr)sinl(tfracnpi x3r)dx
Fazendo a integral por partes e simplificando, encontra-se
Bn=2npil[1+(-1)^nr]
Isso dá Bn=0 para n ímpar e, para n=2m,
B2m=2mpi

Passo 6

Portanto a parte transiente é
v(x,t)=summ=1^infty 2mpie^-4m^2pi^2 tsinl(tfrac2mpi x3r)
Somando com a parte estacionária, a solução final fica
u(x,t)=23x -1+summ=1^infty 2mpie^-4m^2pi^2 tsinl(tfrac2mpi x3r)

Resposta

u(x,t)=dfrac23x -1+summ=1^infty dfrac2mpie^-4m^2pi^2 tsinl(tfrac2mpi x3r).

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