Resolver o problema de Cauchy para a seguinte equação da onda:
Interpretar a solução no plano
. Analisar o perfil da onda.
Passo 1
O problema é a equação da onda
em
com condições iniciais
, onde
se
e zero fora, e
. O conteúdo é a solução de Cauchy para a equação da onda em uma dimensão, e vamos precisar da fórmula de d’Alembert.
Passo 2
A fórmula de d’Alembert para a equação
é
onde
,
e
. Como aqui
, a solução simplifica.
Passo 3
Definimos então
e
.
Passo 4
Substituindo na fórmula de d’Alembert, obtemos
Passo 5
Para ver explicitamente o perfil, usamos funções indicadoras
. Como
, temos
Passo 6
Isso significa que a condição inicial se separa em dois pulsos retangulares de amplitude 2 viajando com velocidade
. Enquanto os dois pulsos se sobrepõem (isto é, para
), a amplitude na região comum atinge 4; depois de
eles se separam e cada um mantém amplitude 2.
Resposta
Essa expressão descreve dois pulsos retangulares de amplitude 2 propagando-se em sentidos opostos a velocidade 2; na região de sobreposição (para
) a soma dos dois dá amplitude 4.