Resolver o problema de Cauchy para a seguinte equação da onda:
& ut t-4 ux x=0, (x, t) in R+^2, & u(x, 0)=lll 4, & se & x in[1,2] 0, & se & x notin[1,2] , ut(x, 0)=0
Interpretar a solução no plano (x, t). Analisar o perfil da onda.

Passo 1

O problema é a equação da onda utt-4uxx=0 em Rtimes[0,infty) com condições iniciais u(x,0)=f(x), onde f(x)=4 se xin[1,2] e zero fora, e ut(x,0)=0. O conteúdo é a solução de Cauchy para a equação da onda em uma dimensão, e vamos precisar da fórmula de d’Alembert.

Passo 2

A fórmula de d’Alembert para a equação utt-c^2uxx=0 é
u(x,t)=f(x-ct)+f(x+ct)2+12cintegralx-ct^x+ctg(s),ds,
onde f(x)=u(x,0), g(x)=ut(x,0) e c=2. Como aqui gequiv0, a solução simplifica.

Passo 3

Definimos então
f(x)=4,&xin[1,2],0,&caso contrário, á
e g(x)=0.

Passo 4

Substituindo na fórmula de d’Alembert, obtemos
u(x,t)=f(x-2t)+f(x+2t)2

Passo 5

Para ver explicitamente o perfil, usamos funções indicadoras chi[1,2]. Como f(y)=4chi[1,2](y), temos
u(x,t)=2,chi[1,2](x-2t)+2,chi[1,2](x+2t)

Passo 6

Isso significa que a condição inicial se separa em dois pulsos retangulares de amplitude 2 viajando com velocidade pm2. Enquanto os dois pulsos se sobrepõem (isto é, para t<=tfrac14), a amplitude na região comum atinge 4; depois de t>tfrac14 eles se separam e cada um mantém amplitude 2.

Resposta

u(x,t)=2,chi[1,2](x-2t)+2,chi[1,2](x+2t)
Essa expressão descreve dois pulsos retangulares de amplitude 2 propagando-se em sentidos opostos a velocidade 2; na região de sobreposição (para t<=1/4) a soma dos dois dá amplitude 4.

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