Resolver o problema misto para a equação da onda:
Passo 1
Temos o problema misto para a equação da onda com c²=16, em (0,4)×ℝ₊, sujeita a condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(4,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=f(x)=x(4−x), u_t(x,0)=0. O conteúdo aqui é separação de variáveis e séries de Fourier (base de senos).
Passo 2
Assumimos solução na forma de série de autovetores de Dirichlet:
onde os modos têm frequência
.
Passo 3
A condição inicial u_t(x,0)=0 implica
para todo x, de modo que
para todo n.
Passo 4
A condição inicial u(x,0)=f(x) dá
Para expandir f em senos, usamos a fórmula dos coeficientes:
Passo 5
Agora calculamos
com
. Por integração por partes, chega-se a
Logo
Passo 6
Substituindo
e observando que
para n par e =2 para n ímpar, vem
Passo 7
Portanto a solução final é
Resposta
u(x,t)=\displaystyle\sum_{k=0}{\infty}\frac{128}{(2k+1)3\pi^3}\cos\bigl((2k+1)\pi t\bigr)\sin\Bigl(\frac{(2k+1)\pi x}{4}\Bigr).