Resolver o problema misto para a equação da onda:
& ut t-16 ux x=0, (x, t) in(0,4) times R+, & u(x, 0)=x(4-x), ut(x, 0)=0 & u(0, t)=u(4, t)=0

Passo 1

Temos o problema misto para a equação da onda com c²=16, em (0,4)×ℝ₊, sujeita a condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(4,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=f(x)=x(4−x), u_t(x,0)=0. O conteúdo aqui é separação de variáveis e séries de Fourier (base de senos).

Passo 2

Assumimos solução na forma de série de autovetores de Dirichlet:
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r)sinl(npi x4r),
onde os modos têm frequência omegan=cnpi4=4npi4=npi.

Passo 3

A condição inicial u_t(x,0)=0 implica
ut(x,0)=sumn=1^infty Bn,omegansinl(npi x4r)=0
para todo x, de modo que Bn=0 para todo n.

Passo 4

A condição inicial u(x,0)=f(x) dá
sumn=1^infty Ansinl(npi x4r)=x(4-x)
Para expandir f em senos, usamos a fórmula dos coeficientes:
An=24integral0^4x(4-x)sinl(npi x4r),dx=12 In

Passo 5

Agora calculamos
In=integral0^4(4x-x^2)sin(alpha x),dx,
com alpha=npi/4. Por integração por partes, chega-se a
In=-2alpha^3l((-1)^n-1r)
Logo
An=12In=-1alpha^3l((-1)^n-1r)=1-(-1)^nalpha^3

Passo 6

Substituindo alpha^3=(npi/4)^3=n^3pi^3/64 e observando que 1-(-1)^n=0 para n par e =2 para n ímpar, vem
An= 128n^3pi^3,&n ímpar, 0,&n par í

Passo 7

Portanto a solução final é
u(x,t)=sumk=0^infty128(2k+1)^3pi^3cosl((2k+1)pi tr)sinl((2k+1)pi x4r)

Resposta

u(x,t)=\displaystyle\sum_{k=0}{\infty}\frac{128}{(2k+1)3\pi^3}\cos\bigl((2k+1)\pi t\bigr)\sin\Bigl(\frac{(2k+1)\pi x}{4}\Bigr).

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