Resolver o problema com condição de contorno de Neumann:
& ut t-9 ux x=0, (x, t) in R+ times R+ & u(x, 0)=0, ut(x, 0)=0 & ux(0, t)=2 t1+t^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda utt - 9uxx = 0 em x>0, t>0 com condições iniciais nulas u(x,0)=0, ut(x,0)=0 e condição de contorno de Neumann ux(0,t)=2t1+t^2. Vamos usar o método de D’Alembert estendido por simetria para Neumann (velocidade c=3).

Passo 2

Para a equação da onda no domínio inteiro, a solução geral é dada por u(x,t)=F(x-3t)+G(x+3t).

Passo 3

Impondo u(x,0)=0 segue
F(x)+G(x)=0
e, impondo ut(x,0)=0, obtemos identidade já satisfeita por qualquer F, G que satisfaçam a soma nula. Logo
G(x)=-F(x)
e
u(x,t)=F(x-3t)-F(x+3t)

Passo 4

Calculamos a derivada espacial e impomos a condição de Neumann em x=0:
ux(x,t)=F'(x-3t)-F'(x+3t)
e então
F'(-3t)-F'(3t)=2t1+t^2

Passo 5

Para garantir simetria par de u (Neumann) adotamos F'(-s)=-F'(s). Assim
F'(-3t)-F'(3t)=-2F'(3t)=2t1+t^2
implica
F'(3t)=-t1+t^2

Passo 6

Fazendo s=3t t=s/3, de modo que
F'(s)=-(s/3)1+(s/3)^2=-3s9+s^2
Integrando,
F(s)=integral -3s9+s^2,ds= -32ln(9+s^2)+C

Passo 7

Como a constante C cancela em F(x-3t)-F(x+3t), obtemos a solução final por
u(x,t)=F(x-3t)-F(x+3t)=-32lnl(9+(x-3t)^2r)+32lnl(9+(x+3t)^2r)

Resposta

u(x,t)=32ln!l(,9+(x+3t)^2r)-32ln!l(,9+(x-3t)^2r)

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