Resolver o problema misto para a equação de calor:
& ut-16 ux x=0, (x, t) in(0,4) times R+, & u(x, 0)=x(4-x) & u(0, t)=u(4, t)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDP de calor ut-16uxx=0 em 00, com condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(4,t)=0 e condição inicial u(x,0)=x(4-x). Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de senos (série de Fourier).

Passo 2

Assumindo solução do tipo u(x,t)=X(x)T(t), substituímos na EDP e separamos variáveis:
T'(t)16T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
Daí obtemos duas ODEs:
$$
X’’ + \lambda X=0,\quad T’ +16\lambda T=0
$$

Passo 3

As condições de contorno homogêneas em X levam a autovalores lambdan=(npi/4)^2 e autofunções Xn(x)=sinl(npi x/4r). Portanto, cada modo é
Tn(t)=e^-16lambdan t=e^-16 (npi/4)^2 t=e^-n^2pi^2 t

Passo 4

A solução geral fica então
u(x,t)=sumn=1^infty Bnsinl(npi x/4r)e^-n^2pi^2 t

Passo 5

Para determinar os coeficientes Bn, impomos a condição inicial:
x(4-x)=sumn=1^inftyBnsinl(npi x/4r)

Passo 6

Usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier-seno em (0,4):
Bn=24integral0^4 x(4-x)sinl(npi x/4r),dx =tfrac12 In

Passo 7

Calculando
In=integral0^4x(4-x)sin(alpha x),dx, alpha=npi4, fazendo integrações por partes mostra-se que
In=2l(1-(-1)^nr)alpha^3

Passo 8

Como alpha^3=(npi/4)^3=n^3pi^3/64, segue
Bn=12In=1-(-1)^nalpha^3=64l(1-(-1)^nr)n^3pi^3

Passo 9

Observa-se que 1-(-1)^n=0 se n é par e =2 se n é ímpar. Logo, para n=2k+1
B2k+1=128(2k+1)^3pi^3, B2k=0

Passo 10

Substituindo na série, obtemos a solução desejada.

Resposta

u(x,t)=sumk=0^infty 128(2k+1)^3pi^3sinl((2k+1)pi x4r),e^-(2k+1)^2pi^2 t

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