Resolver o problema misto para a equação de calor:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDP de calor
em
, com condições de contorno homogêneas
e condição inicial
. Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de senos (série de Fourier).
Passo 2
Assumindo solução do tipo
, substituímos na EDP e separamos variáveis:
Daí obtemos duas ODEs:
$$
X’’ + \lambda X=0,\quad T’ +16\lambda T=0
$$
Passo 3
As condições de contorno homogêneas em
levam a autovalores
e autofunções
. Portanto, cada modo é
Passo 4
A solução geral fica então
Passo 5
Para determinar os coeficientes
, impomos a condição inicial:
Passo 6
Usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier-seno em
:
Passo 7
Calculando
Passo 8
Como
, segue
Passo 9
Observa-se que
se
é par e
se
é ímpar. Logo, para
Passo 10
Substituindo na série, obtemos a solução desejada.