Resolver o seguinte problema com condição de contorno de Dirichlet:
& ut t-ux x=0, (x, t) in R+ times R+, & u(x, 0)=ll 2, & se x in[2,4] 0, & se x notin[2,4] , ut(x, 0)=0, & u(0, t)=0
Interpretar a solução no plano (x, t). Analisar o perfil da onda.

Passo 1

Estamos lidando com a equação da onda unidimensional com condição de Dirichlet em x=0 e dado inicial descontínuo concentrado em [2,4]. O conteúdo principal é a solução de D’Alembert para x>0, usando extensão ímpar para impor u(0,t)=0.

Passo 2

Para resolver em semi‐eixo usamos o método de reflexão ímpar: definimos f(x)=u(x,0) no x≥0, isto é f(x)=2 em [2,4] e 0 fora, e estendemos f de modo ímpar para x<0 via f*(s)=f(s) para s≥0 e f*(s)=-f(-s) para s<0. A velocidade inicial é zero, então não precisamos estender nada para u_t.

Passo 3

A solução de D’Alembert no semi‐eixo fica então
nu(x,t)=12l(f^*(x+t)+f^*(x-t)r), x>=0,;t>=0

Passo 4

No plano (x,t) a região inicial [2,4] gera dois pulsos de meia-altura (amplitude 1) que correm a velocidade 1 pelas características x−t=2, x−t=4 (pulo indo para a direita) e x+t=2, x+t=4 (pulo indo para a esquerda).
Quando o pulso da esquerda atinge x=0 em t=2 (pela característica x+t=2), ele é refletido com inversão de fase (sinal trocado), porque usamos extensão ímpar. Esse pulso refletido volta para a direita pelas características x−t=−2 e x−t=−4, aparecendo como um pulso negativo de amplitude 1.

Passo 5

Em resumo, temos:
  • Para t<2: dois pulsos de amplitude +1, indo para direita e para esquerda.
  • Em t=2: o pulso esquerdo colide com a fronteira e se inverte.
  • Para t>2: há um pulso positivo ainda à direita e um pulso negativo vindo da reflexão, ambos viajando para a direita.

Passo 6

O perfil da onda é, portanto, a sobreposição dessas parcelas, sem dispersão, apenas com inversão no contato com o extremo x=0.

Resposta

A solução é
u(x,t)=12l(f^*(x+t)+f^*(x-t)r), x>=0,;t>=0,
onde
f(s)=2,&sin[2,4],0,&caso contrário, á
e a extensão ímpar
f^*(s)=f(s),&s>=0,-,f(-s),&s<0
No plano (x,t) o pulso inicial se divide em dois de amplitude 1 (um à direita e outro à esquerda); o que vai para a esquerda atinge x=0 em t=2 e retorna invertido (sinal trocado), viajando de volta para a direita.

Exercícios relacionados