Resolver o seguinte problema com condição de contorno de Dirichlet:
Interpretar a solução no plano
. Analisar o perfil da onda.
Passo 1
Estamos lidando com a equação da onda unidimensional com condição de Dirichlet em x=0 e dado inicial descontínuo concentrado em [2,4]. O conteúdo principal é a solução de D’Alembert para x>0, usando extensão ímpar para impor u(0,t)=0.
Passo 2
Para resolver em semi‐eixo usamos o método de reflexão ímpar: definimos f(x)=u(x,0) no x≥0, isto é f(x)=2 em [2,4] e 0 fora, e estendemos f de modo ímpar para x<0 via f*(s)=f(s) para s≥0 e f*(s)=-f(-s) para s<0. A velocidade inicial é zero, então não precisamos estender nada para u_t.
Passo 3
A solução de D’Alembert no semi‐eixo fica então
Passo 4
No plano (x,t) a região inicial [2,4] gera dois pulsos de meia-altura (amplitude 1) que correm a velocidade 1 pelas características x−t=2, x−t=4 (pulo indo para a direita) e x+t=2, x+t=4 (pulo indo para a esquerda).
Quando o pulso da esquerda atinge x=0 em t=2 (pela característica x+t=2), ele é refletido com inversão de fase (sinal trocado), porque usamos extensão ímpar. Esse pulso refletido volta para a direita pelas características x−t=−2 e x−t=−4, aparecendo como um pulso negativo de amplitude 1.
Quando o pulso da esquerda atinge x=0 em t=2 (pela característica x+t=2), ele é refletido com inversão de fase (sinal trocado), porque usamos extensão ímpar. Esse pulso refletido volta para a direita pelas características x−t=−2 e x−t=−4, aparecendo como um pulso negativo de amplitude 1.
Passo 5
Em resumo, temos:
- Para t<2: dois pulsos de amplitude +1, indo para direita e para esquerda.
- Em t=2: o pulso esquerdo colide com a fronteira e se inverte.
- Para t>2: há um pulso positivo ainda à direita e um pulso negativo vindo da reflexão, ambos viajando para a direita.
Passo 6
O perfil da onda é, portanto, a sobreposição dessas parcelas, sem dispersão, apenas com inversão no contato com o extremo x=0.
Resposta
A solução é
onde
e a extensão ímpar
No plano (x,t) o pulso inicial se divide em dois de amplitude 1 (um à direita e outro à esquerda); o que vai para a esquerda atinge x=0 em t=2 e retorna invertido (sinal trocado), viajando de volta para a direita.