Resolver o problema de valor inicial dado.
y^prime prime prime+2 y^prime prime-5 y^prime-6 y=0, y(0)=y^prime(0)= 0, y^prime prime(0)=1

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + 2y'' - 5y' - 6y = 0
sujeita às condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=1
O conteúdo necessário é a técnica de solução via equação característica.

Passo 2

Usamos o ansatz y=e^rt, que leva à equação característica
r^3 + 2r^2 -5r -6 = 0
Testando raízes inteiras, r=2 zera o polinômio. Dividindo por (r-2) obtemos
r^2 +4r +3 = 0,
cuja solução dá r=-1 e r=-3. Portanto, as raízes são
r1 = 2, r2 = -1, r3 = -3

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-t + C3 e^-3t,
onde C1,C2,C3 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
y'(t) = 2C1 e^2t - C2 e^-t - 3C3 e^-3t,
y''(t) = 4C1 e^2t + C2 e^-t +9C3 e^-3t
Em t=0 as condições iniciais geram o sistema
y(0)=C1 + C2 + C3 = 0, y'(0)=2C1 - C2 -3C3 = 0, y''(0)=4C1 + C2 +9C3 = 1

Passo 5

Resolvendo
C1 + C2 + C3 = 0, 2C1 - C2 -3C3 = 0, 4C1 + C2 +9C3 = 1,
obtemos
C1 = 115, C2 = -16, C3 = 110

Passo 6

Substituindo em y(t) e colocando em denominador comum 30, chega-se a
y(t) = 2e^2t - 5e^-t + 3e^-3t30

Resposta

y(t) = 2e^2t - 5e^-t + 3e^-3t30

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