Questão 8.7)

Verifique se
y(x)=c1 sumn=0^infty(-1)^n 2^2 n x^2 n(2 n)!+c2 sumn=0^infty(-1)^n 2^2 n+1 x^2 n+1(2 n+1)!, com c1, c2 in R
são soluções da edo y^prime prime+4 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
y(x)=c1sumn=0^infty(-1)^n2^2nx^2n(2n)! ;+; c2sumn=0^infty(-1)^n2^2n+1x^2n+1(2n+1)!
satisfaz a equação diferencial
y''+4y=0
O conteúdo usado será a diferenciação termo a termo de séries de potências e a linearidade da EDO.

Passo 2

Defina
y1(x)=sumn=0^inftyanx^2n, an=(-1)^n2^2n(2n)!
Então
y1''(x) =sumn=1^inftyan(2n)(2n-1)x^2n-2 =summ=0^inftyam+1(2m+2)(2m+1)x^2m
Mas
am+1(2m+2)(2m+1) =(-1)^m+12^2m+2(2m+2)!(2m+2)(2m+1) =-4,am
Logo
y1''(x) =summ=0^infty(-4,am),x^2m =-4summ=0^inftyamx^2m =-4,y1(x),
ou seja
y1''+4,y1=0

Passo 3

Defina
y2(x)=sumn=0^inftybnx^2n+1, bn=(-1)^n2^2n+1(2n+1)!
Diferenciando duas vezes, obtemos
y2''(x) =sumn=1^inftybn(2n+1)(2n)x^2n-1 =summ=0^inftybm+1(2m+3)(2m+2)x^2m+1
Calcula‐se
bm+1(2m+3)(2m+2) =(-1)^m+12^2m+3(2m+3)!(2m+3)(2m+2) =-4,bm,
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y2''(x) =summ=0^infty(-4,bm)x^2m+1 =-4,y2(x),
isto é
y2''+4,y2=0

Passo 4

Como a EDO é linear, toda combinação
y=c1y1+c2y2
satisfaz
y''+4y =c1(y1''+4y1) +c2(y2''+4y2) =0

Resposta

Sim. As séries dadas definem funções y1 e y2 que satisfazem y''+4y=0, e portanto sua combinação linear também satisfaz a EDO.

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