Resolver os problemas dados a seguir de forma clara, justificando todas as etapas relevantes da resolução, com desenvolvimento lógico e organizado e fazendo uso de argumentação pautada na teoria.
Sejam as matrizes
e
quadradas, de mesma ordem e inversíveis. Use as propriedades de matrizes para resolver a equação matricial
na qual
é a matriz das variáveis. Cada passo da resolução deve estar devidamente justificado pelas propriedades.
Sejam as matrizes
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação matricial
onde
e
são matrizes quadradas invertíveis de mesma ordem.
O conteúdo principal aqui é usar as propriedades de transposição e inversão de matrizes para isolar .
O conteúdo principal aqui é usar as propriedades de transposição e inversão de matrizes para isolar
Passo 2
Aplicamos a propriedade da transposta de um produto: para quaisquer matrizes
e
,
Tomando
e
, obtemos
Passo 3
Usamos agora a transposta de um produto mais uma vez em
:
pois
.
Passo 4
Também sabemos que a transposta da inversa satisfaz
Substituindo em nosso cálculo da transposta inteira, chega-se a
Portanto a equação original fica
Passo 5
Multiplicamos à esquerda por
(que é inversível), para anular
:
isto é
Passo 6
Para isolar
, multiplicamos à direita por
:
resultando em
Passo 7
Observamos que
. Logo uma forma alternativa é
Resposta
ou, equivalentemente,