Resolver os problemas dados a seguir de forma clara, justificando todas as etapas relevantes da resolução, com desenvolvimento lógico e organizado e fazendo uso de argumentação pautada na teoria.
Sejam as matrizes boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} e boldsymbol{C} quadradas, de mesma ordem e inversíveis. Use as propriedades de matrizes para resolver a equação matricial
\left[\left(A X^{T}\right) B^{-1}\right]^{T}=C
na qual boldsymbol{X} é a matriz das variáveis. Cada passo da resolução deve estar devidamente justificado pelas propriedades.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação matricial
\bigl[(\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{X}^{T})\,\boldsymbol{B}^{-1}\bigr]^{T} = \boldsymbol{C},
onde \boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C} e \boldsymbol{X} são matrizes quadradas invertíveis de mesma ordem.
O conteúdo principal aqui é usar as propriedades de transposição e inversão de matrizes para isolar \boldsymbol{X}.

Passo 2

Aplicamos a propriedade da transposta de um produto: para quaisquer matrizes \boldsymbol{M} e \boldsymbol{N},
(\boldsymbol{M}\,\boldsymbol{N})^{T} = \boldsymbol{N}^{T}\,\boldsymbol{M}^{T}.
Tomando \boldsymbol{M} = \boldsymbol{A}\,\boldsymbol{X}^{T} e \boldsymbol{N} = \boldsymbol{B}^{-1}, obtemos
\bigl[(\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{X}^{T})\,\boldsymbol{B}^{-1}\bigr]^{T} = (\boldsymbol{B}^{-1})^{T}\,(\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{X}^{T})^{T}.

Passo 3

Usamos agora a transposta de um produto mais uma vez em (\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{X}^{T})^{T}:
(\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{X}^{T})^{T} = (\boldsymbol{X}^{T})^{T}\,\boldsymbol{A}^{T} = \boldsymbol{X}\,\boldsymbol{A}^{T},
pois (\boldsymbol{X}^{T})^{T} = \boldsymbol{X}.

Passo 4

Também sabemos que a transposta da inversa satisfaz
(\boldsymbol{B}^{-1})^{T} = (\boldsymbol{B}^{T})^{-1}.
Substituindo em nosso cálculo da transposta inteira, chega-se a
\bigl[(\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{X}^{T})\,\boldsymbol{B}^{-1}\bigr]^{T} = (\boldsymbol{B}^{T})^{-1}\,\boldsymbol{X}\,\boldsymbol{A}^{T}.
Portanto a equação original fica
(\boldsymbol{B}^{T})^{-1}\,\boldsymbol{X}\,\boldsymbol{A}^{T} = \boldsymbol{C}.

Passo 5

Multiplicamos à esquerda por \boldsymbol{B}^{T} (que é inversível), para anular (\boldsymbol{B}^{T})^{-1}:
\boldsymbol{B}^{T}\,(\boldsymbol{B}^{T})^{-1}\,\boldsymbol{X}\,\boldsymbol{A}^{T} = \boldsymbol{B}^{T}\,\boldsymbol{C},
isto é
\boldsymbol{X}\,\boldsymbol{A}^{T} = \boldsymbol{B}^{T}\,\boldsymbol{C}.

Passo 6

Para isolar \boldsymbol{X}, multiplicamos à direita por (\boldsymbol{A}^{T})^{-1}:
\boldsymbol{X}\,\boldsymbol{A}^{T}\,(\boldsymbol{A}^{T})^{-1} = (\boldsymbol{B}^{T}\,\boldsymbol{C})\,(\boldsymbol{A}^{T})^{-1},
resultando em
\boldsymbol{X} = \boldsymbol{B}^{T}\,\boldsymbol{C}\,(\boldsymbol{A}^{T})^{-1}.

Passo 7

Observamos que (\boldsymbol{A}^{T})^{-1} = (\boldsymbol{A}^{-1})^{T}. Logo uma forma alternativa é
\boldsymbol{X} = \boldsymbol{B}^{T}\,\boldsymbol{C}\,(\boldsymbol{A}^{-1})^{T}.

Resposta

\boxed{\boldsymbol{X} = \boldsymbol{B}^{T}\,\boldsymbol{C}\,(\boldsymbol{A}^{T})^{-1}}
ou, equivalentemente,
\boxed{\boldsymbol{X} = \boldsymbol{B}^{T}\,\boldsymbol{C}\,(\boldsymbol{A}^{-1})^{T}}.

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