Resolver os problemas de valor inicial
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=e^{x-y} \y(0)=\ln 2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{d y}{d x}=e^{x-y},\\[6pt] y(0)=\ln 2, \end{array}\right.
As perguntas implícitas são: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial dada e que também satisfaz a condição inicial y(0)=\ln 2. As informações relevantes fornecidas são:
  • A equação diferencial ordinária: \displaystyle \frac{d y}{d x}=e^{x-y}.
  • A condição inicial: y(0)=\ln 2.]

Passo 2

Observação sobre o tipo de equação e ideia do método (sem formalidades técnicas): a função do lado direito pode ser escrita como produto de uma parte que depende só de x e outra que depende só de y. Vamos manipular para separar as variáveis x e y, porque isso permite integrar cada lado em relação à sua variável. Escrevendo explicitamente:
e^{x-y}=e^{x}\,e^{-y}.
Multiplicando ambos os lados da equação por e^{y} (isso é permitido porque e^{y}>0 para todo y), obtemos
e^{y}\,\frac{d y}{d x}=e^{x}.

Passo 3

Explicação do passo com a regra da cadeia: a expressão à esquerda é exatamente a derivada de e^{y(x)} em relação a x. De fato, pela regra da cadeia,
\frac{d}{d x} e^{y(x)} = e^{y(x)}\cdot \frac{d y}{d x}.
Logo a equação que temos pode ser reescrita como
\frac{d}{d x} e^{y(x)} = e^{x}.
Isto transforma a equação diferencial em uma forma imediata para integrar.

Passo 4

Integração de ambos os lados em relação a x: integrando a igualdade anterior obtemos
\int \frac{d}{d x} e^{y(x)}\,dx = \int e^{x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{y(x)} (pois integrar uma derivada recupera a função), e a do lado direito é e^{x}. Acrescentamos uma constante de integração C. Assim
e^{y(x)} = e^{x} + C.

Passo 5

Determinar a constante C usando a condição inicial y(0)=\ln 2. Substituindo x=0 e y(0)=\ln 2 em \,e^{y(x)} = e^{x} + C\, temos
e^{\ln 2} = e^{0} + C.
Como e^{\ln 2}=2 e e^{0}=1, segue
2 = 1 + C \quad\Rightarrow\quad C = 1.
Portanto a relação fica
e^{y(x)} = e^{x} + 1.

Passo 6

Isolar y(x): aplicando logaritmo natural (função inversa de exponencial) em ambos os lados, obtemos a solução explícita
y(x)=\ln\bigl(e^{x}+1\bigr).
Comentário curto sobre domínio: e^{x}+1>0 para todo x, então a expressão do logaritmo é bem definida em toda a reta real.

Passo 7

Verificação rápida (boa prática para a prova): calcular a derivada de y(x) e checar se satisfaz a equação original. Diferenciando
y'(x)=\frac{d}{dx}\ln\bigl(e^{x}+1\bigr)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}.
Como e^{y(x)}=e^{x}+1, tem-se e^{-y(x)}=\dfrac{1}{e^{x}+1}. Então
e^{x-y(x)}=e^{x}\,e^{-y(x)}=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}=y'(x),
ou seja, a solução satisfaz a equação diferencial. Também satisfaz y(0)=\ln(1+1)=\ln 2.

Passo 8

Observação sobre existência e unicidade (ângulo de prova): a função f(x,y)=e^{x-y} é contínua em (x,y) e tem derivada parcial em relação a y, \partial f/\partial y = -e^{x-y}, também contínua. Pelo teorema de existência e unicidade de Picard-Lindelöf, existe uma solução única passando pelo ponto inicial. Então a solução encontrada é a única solução local e, como a expressão é globalmente bem definida, é a única solução global.

Resposta

y(x)=\ln\bigl(e^{x}+1\bigr)

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