\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=e^{2 x} \cos y \y(0)=\frac{\pi}{4}\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial. Escrevendo claramente o que foi dado e o que é pedido:
Equação diferencial: \dfrac{dy}{dx}=e^{2x}\cos y.
Condição inicial: y(0)=\dfrac{\pi}{4}.
O que se pede: encontrar a função y(x) (no máximo numa vizinhança de x=0) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vamos começar separando as variáveis (ideia: colocar todos os termos com y junto de dy e todos os termos com x junto de dx). A equação é
\frac{dy}{dx}=e^{2x}\cos y.
Dividindo ambos os lados por \cos y e multiplicando por dx obtemos
\frac{1}{\cos y}\,dy=e^{2x}\,dx.
Aqui a ideia é que cada lado depende só de uma variável, então podemos integrar em y no lado esquerdo e em x no lado direito.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{\cos y}\,dy=\int e^{2x}\,dx.
Explicando as integrais:
A integral do lado direito é direta: \displaystyle \int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C, porque a derivada de e^{2x} é 2e^{2x}.
A integral do lado esquerdo é \displaystyle \int \operatorname{sec} y\,dy. Uma forma clássica e rápida de lembrar a primitiva de \operatorname{sec} y é observar que a derivada de \operatorname{sec} y+\tan y é \operatorname{sec} y\tan y+\operatorname{sec}^2 y=\operatorname{sec} y(\tan y+\operatorname{sec} y). Assim
logo \operatorname{sec}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)+\tan\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}+1>0. Isso mostra que o valor absoluto não introduz sinal negativo: tomamos o sinal positivo. Substituindo x=0 na expressão geral,