Resolver os problemas de valor inicial
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=e^{2 x} \cos y \y(0)=\frac{\pi}{4}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial. Escrevendo claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Equação diferencial: \dfrac{dy}{dx}=e^{2x}\cos y.
  • Condição inicial: y(0)=\dfrac{\pi}{4}.
    O que se pede: encontrar a função y(x) (no máximo numa vizinhança de x=0) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos começar separando as variáveis (ideia: colocar todos os termos com y junto de dy e todos os termos com x junto de dx). A equação é
\frac{dy}{dx}=e^{2x}\cos y.
Dividindo ambos os lados por \cos y e multiplicando por dx obtemos
\frac{1}{\cos y}\,dy=e^{2x}\,dx.
Aqui a ideia é que cada lado depende só de uma variável, então podemos integrar em y no lado esquerdo e em x no lado direito.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{\cos y}\,dy=\int e^{2x}\,dx.
Explicando as integrais:
  • A integral do lado direito é direta: \displaystyle \int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C, porque a derivada de e^{2x} é 2e^{2x}.
  • A integral do lado esquerdo é \displaystyle \int \operatorname{sec} y\,dy. Uma forma clássica e rápida de lembrar a primitiva de \operatorname{sec} y é observar que a derivada de \operatorname{sec} y+\tan y é \operatorname{sec} y\tan y+\operatorname{sec}^2 y=\operatorname{sec} y(\tan y+\operatorname{sec} y). Assim
\frac{d}{dy}\big(\operatorname{sec} y+\tan y\big)=\operatorname{sec} y(\tan y+\operatorname{sec} y).
Dividindo ambos os lados por \tan y+\operatorname{sec} y e reconhecendo a forma, ou simplesmente usando a primitiva conhecida, obtemos
\int \operatorname{sec} y\,dy=\ln\big|\operatorname{sec} y+\tan y\big|+C.
Portanto, após integrar obtemos a igualdade (com uma constante C):
\ln\big|\operatorname{sec} y+\tan y\big|=\frac{1}{2}e^{2x}+C.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
\big|\operatorname{sec} y+\tan y\big|=e^{C}\,e^{\tfrac{1}{2}e^{2x}}.
Denotando A=e^{C}>0, escrevemos
\big|\operatorname{sec} y+\tan y\big|=A\,e^{\tfrac{1}{2}e^{2x}}.
Agora usamos a condição inicial y(0)=\dfrac{\pi}{4} para determinar o sinal e o valor de A. Avaliando a expressão em x=0 e y=\dfrac{\pi}{4}:
\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2},\qquad \tan\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=1,
logo \operatorname{sec}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)+\tan\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}+1>0. Isso mostra que o valor absoluto não introduz sinal negativo: tomamos o sinal positivo. Substituindo x=0 na expressão geral,
\sqrt{2}+1 = A\,e^{\tfrac{1}{2}e^{0}}=A\,e^{\tfrac{1}{2}}.
Assim
A=(\sqrt{2}+1)\,e^{-\tfrac{1}{2}}.

Passo 5

Substituindo A de volta obtemos a relação explícita entre y e x:
\operatorname{sec} y+\tan y=(\sqrt{2}+1)\,e^{-\tfrac{1}{2}}\,e^{\tfrac{1}{2}e^{2x}}=(\sqrt{2}+1)\,e^{\tfrac{1}{2}\big(e^{2x}-1\big)}.
Denotando por S(x) essa função do lado direito,
S(x)=(\sqrt{2}+1)\,e^{\tfrac{1}{2}\big(e^{2x}-1\big)},
temos \operatorname{sec} y+\tan y=S(x).

Passo 6

Agora precisamos inverter \operatorname{sec} y+\tan y=S para obter y. Uma identidade útil é
\operatorname{sec} y+\tan y=\frac{1+\sin y}{\cos y}.
Outra maneira prática de inverter é usar a substituição t=\tan\!\left(\tfrac{y}{2}\right). Lembrando as fórmulas de duplicação:
\sin y=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos y=\frac{1-t^2}{1+t^2}.
Substituindo em \dfrac{1+\sin y}{\cos y} e simplificando obtém-se
\operatorname{sec} y+\tan y=\frac{1+t}{1-t},
onde t=\tan\!\left(\tfrac{y}{2}\right). Invertendo essa relação para t,
t=\frac{S-1}{S+1}.
Portanto
\tan\!\left(\frac{y}{2}\right)=\frac{S-1}{S+1}.

Resposta

y(x)=2\arctan\!\left(\frac{(\sqrt{2}+1)\,e^{\tfrac{1}{2}\big(e^{2x}-1\big)}-1}{(\sqrt{2}+1)\,e^{\tfrac{1}{2}\big(e^{2x}-1\big)}+1}\right)

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