Determine o valor da constante q tal que y_{1}=x^{q} seja solução uma solução particular para
x^{2} y^{\prime}-x^{2} y^{2}+5 x y-3=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y' - x^{2}y^{2} + 5xy - 3 = 0
e pede: determinar o valor da constante q tal que y_{1}=x^{q} seja uma solução particular dessa equação.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função candidata é y_{1}(x)=x^{q}.
  • A derivada de y_{1} pode ser calculada por diferenciação de potências.
  • Deve-se encontrar q de modo que a igualdade da equação diferencial valha para todos os x do domínio considerado (tipicamente x>0 para potências reais).

Passo 2

Calcular a derivada de y_{1} e escrever cada termo da equação ao substituir y=y_{1}.
A derivada de uma potência é dada por: se y=x^{q} então
y' = q x^{q-1}.
Agora calcule os termos que aparecem na equação ao substituir y=x^{q}:
x^{2}y' = x^{2}\cdot q x^{q-1} = q x^{q+1},
x^{2}y^{2} = x^{2}\cdot (x^{q})^{2} = x^{2}\cdot x^{2q} = x^{2q+2},
5xy = 5x\cdot x^{q} = 5 x^{q+1}.

Passo 3

Substituir os termos calculados na equação diferencial e simplificar.
Substituindo na equação:
q x^{q+1} - x^{2q+2} + 5 x^{q+1} - 3 = 0.
Agrupando os termos que têm x^{q+1} observe que x^{2q+2}=(x^{q+1})^{2}. Defina temporariamente
u := x^{q+1}.
Então a equação fica
q u - u^{2} + 5u - 3 = 0.
Reescrevendo:
-u^{2} + (q+5)u - 3 = 0
ou multiplicando por -1:
u^{2} - (q+5)u + 3 = 0.

Passo 4

Analisar os dois casos possíveis para u=x^{q+1} e o que cada caso implica sobre q.
Caso A: q \neq -1.
Então q+1\neq0 e u=x^{q+1} não é constante quando x varia (para x>0 varia em um intervalo). A equação
u^{2} - (q+5)u + 3 = 0
deveria valer para todos os valores de u alcançados por x^{q+1}. Como u varia em um intervalo de valores, a única forma de um polinômio em u ser zero para todos esses valores é que o polinômio seja identicamente zero, ou seja, todos os coeficientes sejam zero. Mas o coeficiente de u^{2} é 1, que não pode ser zero. Logo não há q\neq-1 que satisfaça a equação para todos os x.
Caso B: q = -1.
Então q+1=0 e
u = x^{q+1} = x^{0} = 1,
ou seja, u é constante igual a 1. Substituindo u=1 na equação polinomial:
1^{2} - (q+5)\cdot 1 + 3 = 0.
Com q=-1 isso dá:
1 - (-1+5) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0.
Portanto q=-1 satisfaz a equação para todo x.

Passo 5

Verificação direta (para ficar seguro): tomar q=-1, então y=x^{-1}. Calcule cada termo original:
y' = -x^{-2},\qquad x^{2}y'=-1,\qquad x^{2}y^{2}=1,\qquad 5xy=5.
Substituindo na equação:
x^{2}y' - x^{2}y^{2} + 5xy - 3 = -1 - 1 + 5 - 3 = 0,
confirmando que y=x^{-1} é realmente solução particular.

Resposta

-1

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