Determine o valor da constante
tal que
seja solução uma solução particular para
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: determinar o valor da constante
tal que
seja uma solução particular dessa equação.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função candidata é
. - A derivada de
pode ser calculada por diferenciação de potências. - Deve-se encontrar
de modo que a igualdade da equação diferencial valha para todos os do domínio considerado (tipicamente para potências reais).
Passo 2
Calcular a derivada de
e escrever cada termo da equação ao substituir
.
A derivada de uma potência é dada por: se
então
Agora calcule os termos que aparecem na equação ao substituir
:
Passo 3
Substituir os termos calculados na equação diferencial e simplificar.
Substituindo na equação:
Agrupando os termos que têm
observe que
. Defina temporariamente
Então a equação fica
Reescrevendo:
ou multiplicando por
:
Passo 4
Analisar os dois casos possíveis para
e o que cada caso implica sobre
.
Caso A:
.
Então e
não é constante quando
varia (para
varia em um intervalo). A equação
Então
deveria valer para todos os valores de
alcançados por
. Como
varia em um intervalo de valores, a única forma de um polinômio em
ser zero para todos esses valores é que o polinômio seja identicamente zero, ou seja, todos os coeficientes sejam zero. Mas o coeficiente de
é
, que não pode ser zero. Logo não há
que satisfaça a equação para todos os
.
Caso B:
.
Então e
Então
ou seja,
é constante igual a
. Substituindo
na equação polinomial:
Com
isso dá:
Portanto
satisfaz a equação para todo
.
Passo 5
Verificação direta (para ficar seguro): tomar
, então
. Calcule cada termo original:
Substituindo na equação:
confirmando que
é realmente solução particular.