(a) Determine uma forma adequada para Y(t) para se usar o método dos coeficientes indeterminados.
(b) Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução particular da equação dada.
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=e^{2 t} \cos 2 t+e^{2 t}(3 t+4) \operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-5y'+6y = e^{2t}\cos2t + e^{2t}(3t+4)\sin t
e pede: (a) um palpite adequado Y(t) para aplicar o método dos coeficientes indeterminados; (b) usando álgebra computacional, encontrar uma solução particular. Para isso vamos usar a ideia de “deslocamento do operador D” e escrever Y=Y_1+Y_2, tratando cada termo da forçante separadamente.

Passo 2

Como não há entrosamento (ressonância) entre os polos da homogênea r=2,3 e as frequências forçadas 2\pm i ou 2\pm i, tomamos o palpite
Y_1(t) = e^{2t}\bigl(A\cos2t + B\sin2t\bigr), \quad Y_2(t) = e^{2t}\bigl((a\,t + b)\cos t + (c\,t + d)\sin t\bigr).
Logo
Y(t) = Y_1(t) + Y_2(t)
é a forma geral com A,B,a,b,c,d indeterminados.

Passo 3

Para Y_1\) usamos o deslocamento \(L(D)[e^{2t}u]=e^{2t}L(D+2)[u]\). Como \[L(D)=D^2-5D+6 \quad\Longrightarrow\quad L(D+2)=D^2 - D,
escrevemos u=A\cos2t+B\sin2t e calculamos
L(D+2)[u] =\bigl(D^2 - D\bigr)[A\cos2t+B\sin2t] =(-4A-2B)\cos2t+(-4B+2A)\sin2t.
Queremos e^{2t}L(D+2)[u]=e^{2t}\cos2t, daí o sistema
\begin{cases} -4A-2B = 1,\\\\ 2A-4B = 0, \end{cases}
cuja solução é A=-\tfrac15\], \(B=-\tfrac1{10}. Logo
Y_1(t)=e^{2t}\Bigl(-\tfrac15\cos2t-\tfrac1{10}\sin2t\Bigr).

Passo 4

Para Y_2\) usamos de novo \(L(D+2)=D^2-D\) em \[u(t)=(a\,t+b)\cos t+(c\,t+d)\sin t.
Calcula-se
(D^2-D)[u] =(-a-c)\,t\cos t+(a-c)\,t\sin t+(-a+2c-b-d)\cos t+(-2a-c-d+b)\sin t.
Exigimos
e^{2t}(D^2-D)[u] = e^{2t}(3t+4)\sin t,
isto é, igualar coeficientes de t\cos t, t\sin t, \cos t, \sin t, obtendo o sistema
\begin{cases} -a-c = 0,\\\ a-c = 3,\\\\ -a+2c-b-d = 0,\\\\ -2a-c-d+b = 4. \end{cases}
Dessa forma vem c=-\tfrac32\], \(a=\tfrac32, b=\tfrac12, d=-5, e
Y_2(t)=e^{2t}\Bigl(\bigl(\tfrac32\,t+\tfrac12\bigr)\cos t+\bigl(-\tfrac32\,t-5\bigr)\sin t\Bigr).

Passo 5

A solução particular final é
Y(t)=Y_1(t)+Y_2(t) =e^{2t}\Bigl(-\tfrac15\cos2t-\tfrac1{10}\sin2t\Bigr) +e^{2t}\Bigl(\bigl(\tfrac32\,t+\tfrac12\bigr)\cos t+\bigl(-\tfrac32\,t-5\bigr)\sin t\Bigr).

Resposta

(a) Y(t)=e^{2t}\bigl(A\cos2t+B\sin2t\bigr)+e^{2t}\bigl((a\,t+b)\cos t+(c\,t+d)\sin t\bigr).
(b)
Y(t)=e^{2t}\Bigl(-\tfrac15\cos2t-\tfrac1{10}\sin2t\Bigr) +e^{2t}\Bigl(\bigl(\tfrac32\,t+\tfrac12\bigr)\cos t+\bigl(-\tfrac32\,t-5\bigr)\sin t\Bigr).

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