Resolver a questão:
A densidade de corrente I no interior de um fio cilíndrico longo de raio
é paralela ao eixo central do fio e uniforme com o valor
.
determine
em
A densidade de corrente I no interior de um fio cilíndrico longo de raio
determine
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um fio cilíndrico longo com raio $ R = 5,mm $. A densidade de corrente $ J $ dentro desse fio é uniforme e paralela ao eixo central, com valor $ J = 200,A/m^2 $. Nosso objetivo é determinar o módulo do campo magnético $ |B| $ no ponto onde $ r = R $, ou seja, na superfície do fio.
Para resolver esse problema, vamos utilizar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético à corrente que passa por uma determinada trajetória fechada. Precisaremos lembrar como aplicar essa lei em simetrias cilíndricas e calcular a corrente total que atravessa a trajetória de Ampère.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Ampère, que é dada por:
Aqui, $ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} $ representa a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado, $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo, e $ I_{enc} $ é a corrente total que atravessa a área delimitada pelo caminho.
Como o fio é cilíndrico e a densidade de corrente é uniforme e paralela ao eixo, podemos escolher uma trajetória circular de raio $ r = R $ ao redor do fio para facilitar os cálculos.
Passo 3
Vamos calcular a integral de linha $ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} $. Devido à simetria, o campo magnético $ \vec{B} $ terá o mesmo módulo em todos os pontos da trajetória e será tangente à trajetória. Portanto, a integral simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos determinar a corrente total $ I_{enc} $ que atravessa a trajetória de Ampère. Como a densidade de corrente é uniforme, a corrente total é:
Onde $ A $ é a área da seção transversal do fio. Como o raio do fio é $ R $:
Portanto:
Passo 5
Aplicando a Lei de Ampère, temos:
Agora, vamos resolver para $ B $:
Passo 6
Substituindo os valores dados na questão:
Vamos calcular $ B $:
Resposta
O módulo do campo magnético na superfície do fio ($ r = R $) é $ |B| = 2\pi \times 10^{-7},T $.