Resolver a questão:
A densidade de corrente I no interior de um fio cilíndrico longo de raio R=5 mm é paralela ao eixo central do fio e uniforme com o valor J=200 A / m^2.
determine |B| em r=R

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um fio cilíndrico longo com raio $ R = 5,mm $. A densidade de corrente $ J $ dentro desse fio é uniforme e paralela ao eixo central, com valor $ J = 200,A/m^2 $. Nosso objetivo é determinar o módulo do campo magnético $ |B| $ no ponto onde $ r = R $, ou seja, na superfície do fio.
Para resolver esse problema, vamos utilizar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético à corrente que passa por uma determinada trajetória fechada. Precisaremos lembrar como aplicar essa lei em simetrias cilíndricas e calcular a corrente total que atravessa a trajetória de Ampère.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Ampère, que é dada por:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Aqui, $ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} $ representa a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado, $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo, e $ I_{enc} $ é a corrente total que atravessa a área delimitada pelo caminho.
Como o fio é cilíndrico e a densidade de corrente é uniforme e paralela ao eixo, podemos escolher uma trajetória circular de raio $ r = R $ ao redor do fio para facilitar os cálculos.

Passo 3

Vamos calcular a integral de linha $ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} $. Devido à simetria, o campo magnético $ \vec{B} $ terá o mesmo módulo em todos os pontos da trajetória e será tangente à trajetória. Portanto, a integral simplifica para:
oint B cdot dl

Passo 4

Agora, precisamos determinar a corrente total $ I_{enc} $ que atravessa a trajetória de Ampère. Como a densidade de corrente é uniforme, a corrente total é:
Ienc
Onde $ A $ é a área da seção transversal do fio. Como o raio do fio é $ R $:
Ienc = J cdot A
Portanto:
A

Passo 5

Aplicando a Lei de Ampère, temos:
B cdot 2pi R = mu0 Ienc = mu0 J pi R^2
Agora, vamos resolver para $ B $:
B

Passo 6

Substituindo os valores dados na questão:
mu0 = 4pi times 10^-7,T·m/A
J = 200,A/m^2
R = 5,mm = 0,005,m
Vamos calcular $ B $:
B
B = 4pi times 10^-7,T·m/A times 200,A/m^2 times 0,005,m2
B = 4pi times 10^-7 times 200 times 0,0052
B = 4pi times 10^-7 times 12

Resposta

O módulo do campo magnético na superfície do fio ($ r = R $) é $ |B| = 2\pi \times 10^{-7},T $.

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