Resolver a questão:
A densidade de corrente I no interior de um fio cilíndrico longo de raio
é paralela ao eixo central do fio e uniforme com o valor
.
determine
em
A densidade de corrente I no interior de um fio cilíndrico longo de raio
determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um fio cilíndrico longo com raio
. A densidade de corrente
é uniforme e igual a
, e ela é paralela ao eixo do fio. Nosso objetivo é encontrar a magnitude do campo magnético
em um ponto que está a metade do raio do fio, ou seja, em
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que passa por esse caminho.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a Lei de Ampère, que é dada por:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo (
), e
é a corrente total que passa pelo caminho fechado que escolhemos.
Passo 3
Como o fio é simétrico e o campo magnético
é paralelo ao caminho de integração, podemos simplificar a integral à esquerda da equação. Escolhemos um círculo de raio
concentricamente ao fio. Assim, a integral se torna:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
, a corrente que passa dentro do raio
. Como a densidade de corrente
é uniforme, a corrente total
no fio é:
Como estamos considerando apenas a metade do raio, a corrente encerrada será proporcional à área:
Passo 5
Substituindo
na equação de Ampère:
Estamos procurando
, portanto isolamos
:
Passo 6
Sabemos que
. Substituindo isso na equação para
:
Simplificando
:
Passo 7
Agora, substituímos os valores conhecidos:
Substituindo:
Passo 8
Calculando passo a passo:
-
- Numerador:
- Denominador:
- Portanto:
Resposta
O campo magnético em
é
.