Resolver a questão:
A densidade de corrente I no interior de um fio cilíndrico longo de raio R=5 mm é paralela ao eixo central do fio e uniforme com o valor J=200 A / m^2.
determine |B| em r=R / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um fio cilíndrico longo com raio R = 5,mm. A densidade de corrente J é uniforme e igual a 200,A/m^2, e ela é paralela ao eixo do fio. Nosso objetivo é encontrar a magnitude do campo magnético |B| em um ponto que está a metade do raio do fio, ou seja, em r = R/2. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que passa por esse caminho.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a Lei de Ampère, que é dada por:
oint B cdot dl = mu0 cdot Ienc
Aqui, mu0 é a permeabilidade do vácuo ( 4pi times 10^-7,T cdot m/A), e Ienc é a corrente total que passa pelo caminho fechado que escolhemos.

Passo 3

Como o fio é simétrico e o campo magnético B é paralelo ao caminho de integração, podemos simplificar a integral à esquerda da equação. Escolhemos um círculo de raio r = R/2 concentricamente ao fio. Assim, a integral se torna:
B cdot (2pi r) = mu0 cdot Ienc

Passo 4

Agora, precisamos encontrar Ienc, a corrente que passa dentro do raio r = R/2. Como a densidade de corrente J é uniforme, a corrente total Itotal no fio é:
Itotal = J cdot pi R^2
Como estamos considerando apenas a metade do raio, a corrente encerrada será proporcional à área:
Ienc = J cdot pi (R2)^2 = J cdot pi R^24 = Itotal4

Passo 5

Substituindo Ienc na equação de Ampère:
B cdot (2pi r) = mu0 cdot Itotal4
Estamos procurando |B|, portanto isolamos B:
B = mu0 cdot Itotal42pi r = mu0 Itotal8pi r

Passo 6

Sabemos que Itotal = J cdot pi R^2. Substituindo isso na equação para B:
B = mu0 cdot J cdot pi R^28pi r = mu0 J R^28 r
Simplificando pi:
B = mu0 J R^28 r

Passo 7

Agora, substituímos os valores conhecidos:
  • mu0 = 4pi times 10^-7,T cdot m/A
  • J = 200,A/m^2
  • R = 5,mm = 0,005,m
  • r = R/2 = 0,0025,m
Substituindo:
B = 4pi times 10^-7 times 200 times (0,005)^28 times 0,0025

Passo 8

Calculando passo a passo:
  1. (0,005)^2 = 0,000025,m^2
  2. Numerador: 4pi times 10^-7 times 200 times 0,000025 = 4pi times 10^-7 times 0,005 = 2 times 10^-8 pi
  3. Denominador: 8 times 0,0025 = 0,02
  4. Portanto:
B = 2 times 10^-8 pi0,02 = pi times 10^-6,T

Resposta

O campo magnético em r = R/2 é |B| = pi times 10^-6,T.

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