A aceleração de uma motocicleta é dada por ax(t)=At-B onde A=1,50 m / s^3 e B=0,120 m / s^4. A motocicleta está em repouso origem no instante t=0. Calcule sua velocidade e posição em funçāo tempo.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a aceleração de uma moto é
ax(t)=A,t - B
com A=1,50 m/s^3 e B=0,120 m/s^4, e que ela parte do repouso na origem em t=0.
O conteúdo aqui é cinemática com integração: a gente vai usar que aceleração é a derivada da velocidade e velocidade é a derivada da posição. Pra resolver, precisamos integrar ax(t) pra achar v(t) e depois integrar v(t) pra achar x(t), usando as condições iniciais para achar as constantes de integração.

Passo 2

Teoria rápida: se ax(t)=dvdt, então
v(t)=integral ax(t),dt + C1,
Substituindo ax(t)=A,t - B:
v(t)=integral (A,t - B),dt + C1 = A,t^22 - B,t + C1,
Agora a condição inicial diz que em t=0 a moto está em repouso, ou seja v(0)=0. Logo:
v(0)=Acdot0 - Bcdot0 + C1 = 0 ;Longrightarrow; C1=0,
Então
boxedv(t)=A2,t^2 ;-; B,t,

Passo 3

Agora a gente usa que v(t)=dxdt, então
x(t)=integral v(t),dt + C2 = integrall(tfracA2t^2 - B,tr),dt + C2,
Fazendo a integral:
x(t)=A2,t^33 - B,t^22 + C2 = A6,t^3 - B2,t^2 + C2,
Como a moto parte da origem em t=0, temos x(0)=0, então
x(0)=C2=0,
Logo
boxedx(t)=A6,t^3 ;-; B2,t^2,

Resposta

Substituindo os valores numéricos de A e B, as funções ficam:
v(t)=1,502,t^2 - 0,120,t = 0,75,t^2 - 0,12,t(m/s),
x(t)=1,506,t^3 - 0,1202,t^2 = 0,25,t^3 - 0,06,t^2(m)

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