(Simmons p. 49, exer. 3) Verifique que a substituição
leva
a uma equação com variáveis separáveis. Então, aplique esta ideia para resolver (serão soluções implícitas)
(a)
(b)
.
Soluções: (a)
(b)
.
(a)
(b)
Soluções: (a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, usando a substituição
, a equação
vira uma equação de variáveis separáveis e depois aplicar isso para resolver implicitamente os casos (a)
e (b)
. O conteúdo envolve equações diferenciais de 1ª ordem, substituições lineares e separação de variáveis.
Passo 2
Seja
. Então
Passo 3
Esta é separável porque podemos escrever
e integrar cada lado.
Passo 4
Para (a), defina
, ou seja,
,
,
. Então
$$\frac{dz}{dx} = 1 + y
Passo 5
pois
. Logo
e integrando:
Passo 6
O enunciado pede para mostrar que, usando a substituição
, a equação
vira uma equação de variáveis separáveis e depois aplicar isso para resolver implicitamente os casos (a)
e (b)
. O conteúdo envolve equações diferenciais de 1ª ordem, substituições lineares e separação de variáveis.
Passo 7
Seja
. Então
Passo 8
Esta é separável porque podemos escrever
e integrar cada lado.
Passo 9
Para (a), defina
, ou seja,
,
,
. Então
$$\frac{dz}{dx} = 1 + y
Passo 10
pois
. Logo
e integrando:
Passo 11
O enunciado pede para mostrar que, usando a substituição
, a equação
vira uma equação de variáveis separáveis e depois aplicar isso para resolver implicitamente os casos (a)
e (b)
. O conteúdo envolve equações diferenciais de 1ª ordem, substituições lineares e separação de variáveis.
Passo 12
Seja
. Então
Passo 13
Esta é separável porque podemos escrever
Passo 14
Para (a), defina
, ou seja,
,
,
. Então
$$\frac{dz}{dx} = 1 + y
Passo 15
pois
. Logo
Passo 16
O enunciado pede para mostrar que, usando a substituição
, a equação
vira uma equação de variáveis separáveis e depois aplicar isso para resolver implicitamente os casos (a)
e (b)
. O conteúdo envolve equações diferenciais de 1ª ordem, substituições lineares e separação de variáveis.
Passo 17
Seja
. Então
Passo 18
Esta é separável porque podemos escrever
Passo 19
Para (a), defina
, ou seja,
,
,
. Então
$$\frac{dz}{dx} = 1 + y
Passo 20
pois
. Logo
Passo 21
O enunciado pede para mostrar que, usando a substituição
, a equação
vira uma equação de variáveis separáveis e depois aplicar isso para resolver implicitamente os casos (a)
e (b)
. O conteúdo envolve equações diferenciais de 1ª ordem, substituições lineares e separação de variáveis.
Passo 22
Seja
. Então
Passo 23
Esta é separável porque podemos escrever
Passo 24
Para (a), defina
, ou seja,
,
,
. Então
$$\frac{dz}{dx} = 1 + y
Passo 25
pois
. Logo
Resposta
(a)
(b)
(b)