(Simmons p. 49, exer. 3) Verifique que a substituição z=a x+b y+c leva
y^prime=f(a x+b y+c)
a uma equação com variáveis separáveis. Então, aplique esta ideia para resolver (serão soluções implícitas)
(a) y^prime=(x+y)^2
(b) y^prime=sen^2(x-y+1).
Soluções: (a) x+y=tg(x+c), (b) tg(x-y+1)=x+c.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, usando a substituição z = a x + b y + c, a equação y' = f(a x + b y + c) vira uma equação de variáveis separáveis e depois aplicar isso para resolver implicitamente os casos (a) y' = (x+y)^2 e (b) y' = sin^2(x - y + 1). O conteúdo envolve equações diferenciais de 1ª ordem, substituições lineares e separação de variáveis.

Passo 2

Seja z = a x + b y + c. Então
dzdx = a + bdydx = a + b,f(z)

Passo 3

Esta é separável porque podemos escrever
dza + b,f(z) = dx,
e integrar cada lado.

Passo 4

Para (a), defina z = x + y, ou seja, a = 1, b = 1, c = 0. Então
$$\frac{dz}{dx} = 1 + y

Passo 5

pois y' = (x+y)^2 = z^2. Logo
dz1 + z^2 = dx', 'Integrando:
arctan(z) = x + C Longrightarrow z = tan(x + C)', 'Voltando a z = x + y obtemos
x + y = tan(x + C)', 'Para (b), defina z = x - y + 1, ou seja, a = 1, b = -1, c = 1. Então
dzdx = 1 - y' = 1 - sin^2(z) = cos^2(z)', 'Isso dá
dzcos^2(z) = dx Longrightarrow integralsec^2(z),dz = integral dx,
e integrando:
tan(z) = x + C', 'Voltando a z = x - y + 1 resulta
tan(x - y + 1) = x + C']))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=[

Passo 6

O enunciado pede para mostrar que, usando a substituição z = a x + b y + c, a equação y' = f(a x + b y + c) vira uma equação de variáveis separáveis e depois aplicar isso para resolver implicitamente os casos (a) y' = (x+y)^2 e (b) y' = sin^2(x - y + 1). O conteúdo envolve equações diferenciais de 1ª ordem, substituições lineares e separação de variáveis.

Passo 7

Seja z = a x + b y + c. Então
dzdx = a + bdydx = a + b,f(z)

Passo 8

Esta é separável porque podemos escrever
dza + b,f(z) = dx,
e integrar cada lado.

Passo 9

Para (a), defina z = x + y, ou seja, a = 1, b = 1, c = 0. Então
$$\frac{dz}{dx} = 1 + y

Passo 10

pois y' = (x+y)^2 = z^2. Logo
dz1 + z^2 = dx', 'Integrando:
arctan(z) = x + C Longrightarrow z = tan(x + C)', 'Voltando a z = x + y obtemos
x + y = tan(x + C)', 'Para (b), defina z = x - y + 1, ou seja, a = 1, b = -1, c = 1. Então
dzdx = 1 - y' = 1 - sin^2(z) = cos^2(z)', 'Isso dá
dzcos^2(z) = dx Longrightarrow integralsec^2(z),dz = integral dx,
e integrando:
tan(z) = x + C', 'Voltando a z = x - y + 1 resulta
tan(x - y + 1) = x + C']))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=[

Passo 11

O enunciado pede para mostrar que, usando a substituição z = a x + b y + c, a equação y' = f(a x + b y + c) vira uma equação de variáveis separáveis e depois aplicar isso para resolver implicitamente os casos (a) y' = (x+y)^2 e (b) y' = sin^2(x - y + 1). O conteúdo envolve equações diferenciais de 1ª ordem, substituições lineares e separação de variáveis.

Passo 12

Seja z = a x + b y + c. Então
dzdx = a + bdydx = a + b,f(z)

Passo 13

Esta é separável porque podemos escrever
dza + b,f(z) = dx, e integrar cada lado.

Passo 14

Para (a), defina z = x + y, ou seja, a = 1, b = 1, c = 0. Então
$$\frac{dz}{dx} = 1 + y

Passo 15

pois y' = (x+y)^2 = z^2. Logo
dz1 + z^2 = dx', 'Integrando:
arctan(z) = x + C Longrightarrow z = tan(x + C)', 'Voltando a z = x + y obtemos
x + y = tan(x + C)', 'Para (b), defina z = x - y + 1, ou seja, a = 1, b = -1, c = 1. Então
dzdx = 1 - y' = 1 - sin^2(z) = cos^2(z)', 'Isso dá
dzcos^2(z) = dx Longrightarrow integralsec^2(z),dz = integral dx, e integrando:
tan(z) = x + C', 'Voltando a z = x - y + 1 resulta
tan(x - y + 1) = x + C']))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=[

Passo 16

O enunciado pede para mostrar que, usando a substituição z = a x + b y + c, a equação y' = f(a x + b y + c) vira uma equação de variáveis separáveis e depois aplicar isso para resolver implicitamente os casos (a) y' = (x+y)^2 e (b) y' = sin^2(x - y + 1). O conteúdo envolve equações diferenciais de 1ª ordem, substituições lineares e separação de variáveis.

Passo 17

Seja z = a x + b y + c. Então
dzdx = a + bdydx = a + b,f(z)

Passo 18

Esta é separável porque podemos escrever
dza + b,f(z) = dx, e integrar cada lado.

Passo 19

Para (a), defina z = x + y, ou seja, a = 1, b = 1, c = 0. Então
$$\frac{dz}{dx} = 1 + y

Passo 20

pois y' = (x+y)^2 = z^2. Logo
dz1 + z^2 = dx', 'Integrando:
arctan(z) = x + C Longrightarrow z = tan(x + C)', 'Voltando a z = x + y obtemos
x + y = tan(x + C)', 'Para (b), defina z = x - y + 1, ou seja, a = 1, b = -1, c = 1. Então
dzdx = 1 - y' = 1 - sin^2(z) = cos^2(z)', 'Isso dá
dzcos^2(z) = dx Longrightarrow integralsec^2(z),dz = integral dx, e integrando:
tan(z) = x + C', 'Voltando a z = x - y + 1 resulta
tan(x - y + 1) = x + C']))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=[

Passo 21

O enunciado pede para mostrar que, usando a substituição z = a x + b y + c, a equação y' = f(a x + b y + c) vira uma equação de variáveis separáveis e depois aplicar isso para resolver implicitamente os casos (a) y' = (x+y)^2 e (b) y' = sin^2(x - y + 1). O conteúdo envolve equações diferenciais de 1ª ordem, substituições lineares e separação de variáveis.

Passo 22

Seja z = a x + b y + c. Então
dzdx = a + bdydx = a + b,f(z)

Passo 23

Esta é separável porque podemos escrever
dza + b,f(z) = dx, e integrar cada lado.

Passo 24

Para (a), defina z = x + y, ou seja, a = 1, b = 1, c = 0. Então
$$\frac{dz}{dx} = 1 + y

Passo 25

pois y' = (x+y)^2 = z^2. Logo
dz1 + z^2 = dx', 'Integrando:
arctan(z) = x + C Longrightarrow z = tan(x + C)', 'Voltando a z = x + y obtemos
x + y = tan(x + C)', 'Para (b), defina z = x - y + 1, ou seja, a = 1, b = -1, c = 1. Então
dzdx = 1 - y' = 1 - sin^2(z) = cos^2(z)', 'Isso dá
dzcos^2(z) = dx Longrightarrow integralsec^2(z),dz = integral dx, e integrando:
tan(z) = x + C', 'Voltando a z = x - y + 1 resulta
tan(x - y + 1) = x + C

Resposta

(a) x + y = tan(x + C)
(b) tan(x - y + 1) = x + C

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