Use o teste da raiz para tentar decidir sobre a convergência de:
(a) sumn=1^infty e^nn^3 (diverge)
(b) sumn=1^infty 3^n(n+1)^n (converge)
© sumn=4^infty (-5)^1+2 n2^5 n-3 (converge)
(d) sumn=0^infty n^1-3 n4^2 n (converge)

Passo 1

Esse exercício é sobre séries numéricas e vamos usar o teste da raiz. O teste da raiz diz que, para a série sum an, definimos L = limsupntoinfty raiz[n]|an| Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, a série diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Para a série do item (a), an = e^nn^3. Calculamos raiz[n]|an| = raiz[n]e^nn^3 = en^3/n Como n^3/n = e^(3/n)ln n to 1 quando ntoinfty, temos L = e > 1. Portanto a série diverge.

Passo 3

No item (b), an = 3^n(n+1)^n. Então raiz[n]|an| = 3n+1 to 0 < 1(ntoinfty) Como L=0<1, a série converge absolutamente.

Passo 4

Para o item ©, an = (-5)^1+2n2^5n-3. Temos |an|^1/n = 5^(1+2n)/n2^(5n-3)/n = 5^1/n+22^5 - 3/n Como 5^1/nto1 e 2^-3/nto1, resulta L = 5^2/2^5 = 25/32 < 1. Logo a série converge.

Passo 5

No item (d), an = n^1-3n4^2n. Então |an|^1/n = n^(1-3n)/n4^2 = n^1/n - 316 Sabendo que n^1/nto1 e n^-3to0, obtemos L = 0 < 1. Logo a série converge.

Resposta

(a) diverge; (b) converge; © converge; (d) converge

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