Resolver a seguinte equação mista (4° caso):
.
Passo 1
A equação dada é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
. Vamos usar o conteúdo de equações lineares não homogêneas: primeiro achamos a solução complementar via equação característica e depois um particular por método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
A parte complementar
vem da equação característica associada. Montamos
Passo 3
Para o particular
, usamos o método dos coeficientes a determinar. O termo
exige multiplicar
por
(raízes de multiplicidade 2), e o termo
pede um polinômio de grau 1. Então
Passo 4
Separamos
com
. Calculamos derivadas:
Passo 5
Substituindo em
e agrupando os termos de
e de
obtemos:
Passo 6
Somando dá
Passo 7
Comparando coeficientes: de
vem
⇒
; do termo em
vem
⇒
; do termo constante vem
⇒
.
Resposta
A solução geral é