Resolver a seguinte equação mista (4° caso):
d^2 yd x^2-4 d yd x+4 y=2 e^2 x+x2.

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes: y'' - 4y' + 4y = 2e^2x + tfracx2. Vamos usar o conteúdo de equações lineares não homogêneas: primeiro achamos a solução complementar via equação característica e depois um particular por método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A parte complementar yc vem da equação característica associada. Montamos
r^2 - 4r + 4 = 0 que tem raiz dupla r=2. Logo
yc = C1 e^2x + C2 x e^2x

Passo 3

Para o particular yp, usamos o método dos coeficientes a determinar. O termo 2e^2x exige multiplicar e^2x por x^2 (raízes de multiplicidade 2), e o termo x/2 pede um polinômio de grau 1. Então
yp = A x^2 e^2x + Bx + C

Passo 4

Separamos yp = u + v com u = A x^2 e^2x, ;v= Bx + C. Calculamos derivadas:
u' = 2A e^2x(x + x^2),
u'' = 2A e^2x(1 + 4x + 2x^2),
v' = B,
v'' = 0

Passo 5

Substituindo em y'' - 4y' + 4y e agrupando os termos de u e de v obtemos:
u'' - 4u' + 4u = 2A e^2x,
v'' - 4v' + 4v = 4B x + (4C - 4B)

Passo 6

Somando dá
2A e^2x + 4B x + (4C - 4B) = 2e^2x + x2

Passo 7

Comparando coeficientes: de e^2x vem 2A = 2 A=1; do termo em x vem 4B = tfrac12 B=tfrac18; do termo constante vem 4C - 4B = 0 C=tfrac18.

Resposta

A solução geral é
y = C1 e^2x + C2 x e^2x + x^2 e^2x + x8 + 18

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