Considere a superfície dada pelo gráfico da função
.
© Mostre que, para todo ponto
, a reta normal ao gráfico de
que passa em
intersecta o eixo
e o angulo entre esta reta normal e o eixo
nâo depende do ponto
.
© Mostre que, para todo ponto
Passo 1
O enunciado pede pra gente mostrar que, na superfície dada por z=√(x²+y²), a reta normal em qualquer ponto (x,y,z)≠(0,0,0) sempre cruza o eixo Oz e que o ângulo dessa reta com Oz é independente de (x,y). Vamos usar cálculo de vetores normais e produto escalar.
Passo 2
Primeiro a gente identifica o vetor normal ao gráfico de f(x,y)=√(x²+y²). Para superfícies definidas por z=f(x,y), um vetor normal pode ser escrito como
Precisamos então calcular as parciais de f.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Logo o vetor normal no ponto (x,y,z) com r=√(x²+y²) é
Passo 4
Agora escrevemos a reta normal parametrizada a partir do ponto P=(x,y,r) (pois z=r):
Para achar a interseção com o eixo Oz, impomos as coordenadas x(t)=0 e y(t)=0 simultaneamente. Isso dá
Implícita e equivalentemente t=r (lembrando x,y≠0 ou um deles ≠0). Substituindo em z(t) temos z=r + t = r + r = 2r. Então a reta cruza Oz em (0,0,2r), provando a interseção.
Passo 5
Por fim, o ângulo θ entre N e o eixo Oz (vetor k=(0,0,1)) é dado por
Aqui
e
enquanto
. Logo
e esse valor não depende de (x,y).
Resposta
O ângulo entre a reta normal e o eixo Oz é constante e vale 45°.