Considere a superfície dada pelo gráfico da função z=raizx^2+y^2.
© Mostre que, para todo ponto (x, y) neq(0,0), a reta normal ao gráfico de f que passa em (x, y, f(x, y)) intersecta o eixo O z e o angulo entre esta reta normal e o eixo O z nâo depende do ponto (x, y).

Passo 1

O enunciado pede pra gente mostrar que, na superfície dada por z=√(x²+y²), a reta normal em qualquer ponto (x,y,z)≠(0,0,0) sempre cruza o eixo Oz e que o ângulo dessa reta com Oz é independente de (x,y). Vamos usar cálculo de vetores normais e produto escalar.

Passo 2

Primeiro a gente identifica o vetor normal ao gráfico de f(x,y)=√(x²+y²). Para superfícies definidas por z=f(x,y), um vetor normal pode ser escrito como
N = (-fx,,-fy,,1)
Precisamos então calcular as parciais de f.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
fx = partialpartial xraizx^2+y^2 = xraizx^2+y^2,
fy = yraizx^2+y^2
Logo o vetor normal no ponto (x,y,z) com r=√(x²+y²) é
N = l(-xr,,-yr,,1r)

Passo 4

Agora escrevemos a reta normal parametrizada a partir do ponto P=(x,y,r) (pois z=r):
L(t) = (x,y,r) + tl(-tfracxr,,-tfracyr,,1r)
Para achar a interseção com o eixo Oz, impomos as coordenadas x(t)=0 e y(t)=0 simultaneamente. Isso dá
x - txr = 0, y - tyr = 0
Implícita e equivalentemente t=r (lembrando x,y≠0 ou um deles ≠0). Substituindo em z(t) temos z=r + t = r + r = 2r. Então a reta cruza Oz em (0,0,2r), provando a interseção.

Passo 5

Por fim, o ângulo θ entre N e o eixo Oz (vetor k=(0,0,1)) é dado por
costheta = lang<= N, krang<=|N|,|k|
Aqui lang<= N,krang<==1 e
|N| = raizl(tfracxrr)^2 + l(tfracyrr)^2 + 1^2 = raiz1+1 = raiz2,
enquanto |k|=1. Logo
costheta = 1raiz2 implies theta = 45^circ,
e esse valor não depende de (x,y).

Resposta

O ângulo entre a reta normal e o eixo Oz é constante e vale 45°.

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