Seja y=y(x). Resolva o problema de valor inicial
l d^2 yd x^2+2 c d yd x+k^2 y=0 y(0)=y0 y^prime(0)=0
onde c, k e y0 são constantes positivas. Admita que c^2, se for últil, denote omega=raizk^2-c^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação que temos é:
d^2 yd x^2 + 2c d yd x + k^2 y = 0
E as condições iniciais são:
y(0) = y0 e y^prime(0) = 0
Aqui, , e são constantes positivas, e sabemos que . Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, especialmente encontrando as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação característica dessa equação diferencial. Para uma equação da forma:
a d^2 ydx^2 + b dydx + c y = 0
A equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, r^2 + 2c r + k^2 = 0 , , e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes r = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -2c pm raiz(2c)^2 - 4 cdot 1 cdot k^22 cdot 1 = -2c pm raiz4c^2 - 4k^22
Substituindo nossos valores:
r = -2c pm 2iraizk^2 - c^22 = -c pm iomega
Simplificando:
Onde definimos , conforme sugerido.

Passo 4

Como as raízes são complexas ( y(x) = e^-c x ( A cos(omega x) + B sin(omega x) ) ), a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial y(0) = e^0 ( A cos(0) + B sin(0) ) = A = y0 .
Substituindo na solução geral:
Então, já sabemos que .

Passo 6

Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial y'(x) = ddx [ e^-c x ( y0 cos(omega x) + B sin(omega x) ) ] .
Primeiro, derivamos a solução geral em relação a y'(x) = -c e^-c x ( y0 cos(omega x) + B sin(omega x) ) + e^-c x ( -y0 omega sin(omega x) + B omega cos(omega x) ) :
y'(x) = e^-c x ( -c y0 cos(omega x) - c B sin(omega x) - y0 omega sin(omega x) + B omega cos(omega x) )
Usando a regra do produto:
y'(0) = e^0 ( -c y0 cdot 1 - c B cdot 0 - y0 omega cdot 0 + B omega cdot 1 ) = -c y0 + B omega = 0
Simplificando:
B omega = c y0 implies B = c y0omega
Agora, substituindo :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(x) = e^-c x ( y0 cos(omega x) + c y0omega sin(omega x) )
Onde .

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