Seja
. Resolva o problema de valor inicial
onde
e
são constantes positivas. Admita que
, se for últil, denote
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação que temos é:
E as condições iniciais são:
Aqui,
,
e
são constantes positivas, e sabemos que
. Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, especialmente encontrando as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação característica dessa equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso,
,
, e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo nossos valores:
Simplificando:
Onde definimos
, conforme sugerido.
Passo 4
Como as raízes são complexas (
), a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
.
Substituindo
na solução geral:
Então, já sabemos que
.
Passo 6
Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial
.
Primeiro, derivamos a solução geral em relação a
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, substituindo
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Onde
.