Seja
uma função definida para
. Mostre que
é diferenciável em
e calcule
usando o TFC. Em seguida, verifique se há pontos críticos de
no intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a função
é diferenciável no intervalo
. Além disso, precisamos calcular a derivada
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e verificar se existem pontos críticos nesse intervalo. Então, vamos usar cálculo integral e diferencial para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função
. Ela é definida como a integral de
de 1 até
. Isso nos leva ao Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais.
Passo 3
O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) tem duas partes. A primeira parte nos diz que se
é contínua em
, então a função definida por
é diferenciável em
e sua derivada é
.
Passo 4
No nosso caso,
é uma função contínua para todo
. Portanto, pelo TFC,
é diferenciável no intervalo
e podemos calcular sua derivada diretamente.
Passo 5
Aplicando o TFC, temos:
Então, a derivada de
é
.
Passo 6
Agora, vamos procurar por pontos críticos de
no intervalo
. Ponto crítico ocorre onde a derivada é zero ou não existe. Já sabemos que
é diferenciável em
, então só precisamos resolver:
Passo 7
A equação
é satisfeita quando
, onde
é inteiro. Isso significa que:
Precisamos encontrar valores de
tais que
esteja entre 1 e 3.
Passo 8
Vamos calcular para alguns valores de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Então,
é diferenciável no intervalo
com derivada
. Há dois pontos críticos nesse intervalo, aproximadamente em
e
.