Seja
h(x)=integral1^x sin (t^2) d t
uma função definida para x in[1,3]. Mostre que h é diferenciável em [1,3] e calcule h^prime(x) usando o TFC. Em seguida, verifique se há pontos críticos de h no intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a função é diferenciável no intervalo . Além disso, precisamos calcular a derivada usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e verificar se existem pontos críticos nesse intervalo. Então, vamos usar cálculo integral e diferencial para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função . Ela é definida como a integral de de 1 até . Isso nos leva ao Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais.

Passo 3

O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) tem duas partes. A primeira parte nos diz que se é contínua em , então a função definida por é diferenciável em e sua derivada é .

Passo 4

No nosso caso, é uma função contínua para todo . Portanto, pelo TFC, é diferenciável no intervalo e podemos calcular sua derivada diretamente.

Passo 5

Aplicando o TFC, temos:
h'(x) = sin(x^2)
Então, a derivada de é .

Passo 6

Agora, vamos procurar por pontos críticos de h'(x) = sin(x^2) = 0 no intervalo . Ponto crítico ocorre onde a derivada é zero ou não existe. Já sabemos que é diferenciável em , então só precisamos resolver:

Passo 7

A equação x = raiznpi é satisfeita quando , onde é inteiro. Isso significa que:
Precisamos encontrar valores de tais que esteja entre 1 e 3.

Passo 8

Vamos calcular para alguns valores de x = raizpi approx 1.772 (dentro do intervalo) :
  • Para x = raiz2pi approx 2.506 (dentro do intervalo) :
x = raiz3pi approx 3.069 (fora do intervalo)
  • Para :
  • Para :

Resposta

Então, é diferenciável no intervalo com derivada . Há dois pontos críticos nesse intervalo, aproximadamente em e .

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