Resolver as seguintes congruências lineares:
3 x equiv 1(bmod 17);

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência linear
3x equiv 1 pmod17.
O conteúdo envolve aritmética modular e, em particular, o cálculo do inverso multiplicativo de 3 em Z/17.

Passo 2

Verificamos se existe solução calculando o máximo divisor comum: aplicando o Algoritmo de Euclides,
17 = 5cdot3 + 2,
3 = 1cdot2 + 1,
2 = 2cdot1 + 0.
Logo gcd(3,17)=1, o que garante existência e unicidade da solução em Z/17.

Passo 3

Para achar o inverso de 3 módulo 17, voltamos no Algoritmo de Euclides e escrevemos 1 como combinação linear de 3 e 17. Da segunda linha:
1 = 3 - 1cdot2
Como 2 = 17 - 5cdot3, substituindo:
1 = 3 - 1cdot(17 - 5cdot3) = 6cdot3 - 1cdot17
Isso mostra que 6cdot3 equiv 1 pmod17, ou seja, o inverso de 3 em Z/17 é 6.

Passo 4

Multiplicamos a congruência original por esse inverso:
x equiv 6 cdot 1 pmod17
ou seja,
x equiv 6 pmod17

Resposta

,x equiv 6 pmod17

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