Resolver as seguintes EDO’s usando factor integrante quando for necessario
Resolva as equações diferenciais:
(y cos (x y)) d x+(x cos (x y)) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y) = y\cos(xy), \quad N(x,y) = x\cos(xy).
O conteúdo é de equações exatas e, caso não fosse exata, usaríamos fator integrante. Primeiro vamos checar se já é exata.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\cos(xy)\bigr) = \cos(xy) - xy\sin(xy),
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\cos(xy)\bigr) = \cos(xy) - xy\sin(xy).
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata e não precisamos de fator integrante.

Passo 3

Procuramos uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y) = y\cos(xy).
Integramos em x, tratando y como constante:
\psi(x,y) = \int y\cos(xy)\,dx.
Fazendo t=xy, dt=y\,dx, vem
\psi(x,y) = \int \cos t\,dt = \sin t = \sin(xy) + h(y),
onde h(y) é função ainda a determinar.

Passo 4

Agora usamos a condição
\frac{\partial \psi}{\partial y} = x\cos(xy) + h'(y) \stackrel{!}{=} N(x,y) = x\cos(xy).
Logo h'(y)=0, ou seja, h(y) é constante.

Passo 5

A solução geral implícita vem de
\psi(x,y) = \sin(xy) = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

\displaystyle \sin(xy) = C

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