Resolver as seguintes EDO’s usando factor integrante quando for necessario
Resolva as equações diferenciais:
y^{2} d x+(2 x y-1) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^{2}\,dx + (2xy - 1)\,dy = 0
usando fator integrante quando necessário. Aqui vamos identificar que se trata de uma EDO de primeira ordem potencialmente exata e verificar se é preciso usar fator integrante.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = y^{2}, \qquad N(x,y) = 2xy - 1.
Verificamos a exatidão comparando \partial M/\partial y e \partial N/\partial x:
\frac{\partial M}{\partial y} = 2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata e não precisamos de fator integrante.

Passo 3

Buscamos uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y) = y^2.
Integramos em relação a x, tratando y como constante:
\psi(x,y) = \int y^2 \,dx = x\,y^2 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = 2xy + h'(y)
e igualamos a N(x,y):
2xy + h'(y) = 2xy - 1 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -1.
Integrando em y, obtemos
h(y) = -y + C_1.
Logo, a função potencial completa é
\psi(x,y) = x\,y^2 - y.

Resposta

A solução implícita geral da EDO é
x\,y^2 - y = C.

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