Resolver as seguintes EDO’s usando factor integrante quando for necessario
Resolva as equações diferenciais:
((3 x^{2}+2 y) d x+(2 x+4 y) d y=0)
Resolva as equações diferenciais:
((3 x^{2}+2 y) d x+(2 x+4 y) d y=0)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando fator integrante se necessário. Aqui vamos testar se a EDO é exata e, como ela se mostra exata, encontraremos uma função potencial
tal que
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais
e como
, concluímos que a equação é exata e não precisamos de fator integrante.
Passo 3
Para achar
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Agora impomos a condição
. Calculamos
e igualamos a
. Assim
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a função potencial completa:
A solução geral implícita da EDO é
onde
é constante arbitrária.