Resolver as seguintes EDO’s usando factor integrante quando for necessario
Resolva as equações diferenciais:
((3 x^{2}+2 y) d x+(2 x+4 y) d y=0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(3x^{2}+2y)\,dx + (2x+4y)\,dy = 0
usando fator integrante se necessário. Aqui vamos testar se a EDO é exata e, como ela se mostra exata, encontraremos uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=3x^{2}+2y \quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=2x+4y.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=3x^{2}+2y, \quad N(x,y)=2x+4y.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=2, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=2,
e como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, concluímos que a equação é exata e não precisamos de fator integrante.

Passo 3

Para achar \varphi(x,y), integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int\bigl(3x^{2}+2y\bigr)\,dx = x^{3}+2xy + g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Agora impomos a condição \partial \varphi/\partial y = N(x,y). Calculamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+2xy + g(y)\bigr) =2x + g'(y)
e igualamos a N(x,y)=2x+4y. Assim
2x + g'(y)=2x+4y \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=4y \quad\Longrightarrow\quad g(y)=2y^{2}.

Passo 5

Substituindo g(y)=2y^{2} em \varphi(x,y), obtemos a função potencial completa:
\varphi(x,y)=x^{3}+2xy+2y^{2}.
A solução geral implícita da EDO é
\varphi(x,y)=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^{3} + 2xy + 2y^{2} = C.

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