Resolver as seguintes EDO’s usando factor integrante quando for necessario
Resolva as equações diferenciais:
((e^{x}+y) d x+(x+ln y) d y=0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial (e^{x}+y)\,dx + (x+\ln y)\,dy = 0.
O assunto é equações diferenciais de forma exata: buscamos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y), \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y),
onde M(x,y)=e^{x}+y e N(x,y)=x+\ln y.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata comparando
\frac{\partial M}{\partial y} =1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =1.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata, não sendo necessário usar fator integrante.

Passo 3

Integramos M(x,y)=e^{x}+y em relação a x para obter \Phi(x,y) até uma função de y:
\Phi(x,y) =\int (e^{x}+y)\,dx =e^{x}+x\,y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo \Phi_{y}=N(x,y), calculamos
\Phi_{y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}+xy+h(y)\bigr) =x + h'(y),
e igualamos a N(x,y)=x+\ln y.
Logo
h'(y)=\ln y \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\int \ln y\,dy =y\ln y - y.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Phi, obtemos
\Phi(x,y) =e^{x} + x\,y + y\ln y - y.
A solução geral da EDO é a curva de nível
\Phi(x,y)=C.

Resposta

e^{x} + x\,y + y\ln y - y = C.

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