Resolver as seguintes EDO’s usando factor integrante quando for necessario
Resolva as equações diferenciais:
((2 x y+y^{2}) d x+(x^{2}+2 x y) d y=0)

Passo 1

O enunciado dá a EDO
(2xy + y^2)\,dx + (x^2 + 2xy)\,dy = 0
e pede a solução geral. Reconhecemos que pode ser uma equação exata, pois tem a forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
M_y = \frac{\partial}{\partial y}(2xy + y^2) = 2x + 2y,
N_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2xy) = 2x + 2y.
Como M_y = N_x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos F(x,y) tal que \frac{\partial F}{\partial x}=M. Integramos M em relação a x:
F(x,y) = \int(2xy + y^2)\,dx = x^2y + xy^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), exigimos \frac{\partial F}{\partial y}=N:
\frac{\partial F}{\partial y} = x^2 + 2xy + h'(y) \stackrel!= x^2 + 2xy.
Logo h'(y)=0, ou seja, h(y) é constante.

Passo 5

A solução implícita fica
F(x,y) = x^2y + xy^2 = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^2y + xy^2 = C

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