Resolver as seguintes EDO’s usando factor integrante quando for necessario
Resolva as equações diferenciais:
y d x+(x-y^{2}) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
y\,dx + (x - y^2)\,dy = 0,
utilizando fator integrante quando necessário. O tópico aqui é equação diferencial exata.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=y,\quad N(x,y)=x - y^2.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y}=1 \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}=1,
logo \partial M/\partial y=\partial N/\partial x e a equação já é exata. Não precisamos de fator integrante.

Passo 3

Como é exata, existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial\psi}{\partial x}=M=y \quad\Longrightarrow\quad \psi(x,y)=x\,y + h(y).
Agora impomos
\frac{\partial\psi}{\partial y}=x + h'(y)=N=x - y^2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-y^2 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=-\frac{y^3}{3}.
Assim
\psi(x,y)=x\,y - \frac{y^3}{3},
e a solução geral vem de \psi(x,y)=C.

Resposta

x\,y - \frac{y^3}{3} = C.

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