Resolver as seguintes EDO’s usando factor integrante quando for necessario
Resolva as equações diferenciais:
(y+2 x) d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(y + 2x)\,dx + x\,dy = 0
usando fator integrante quando necessário. Aqui o conteúdo é equações exatas: vamos verificar se a forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 é exata ou se precisa de fator integrante.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y + 2x, \quad N(x,y) = x.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata e não precisamos de fator integrante.

Passo 3

Em uma equação exata existe uma função \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y) = y + 2x.
Integramos em relação a x:
\psi(x,y) = \int (y + 2x)\,dx = y\,x + x^2 + h(y),
onde h(y) é função só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), impomos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = x + h'(y) = N(x,y) = x.
Assim h'(y)=0 e h(y) é constante, que absorvemos na constante geral da solução.

Passo 5

A função potencial fica
\psi(x,y)=x\,y + x^2,
e a solução implícita geral é
x\,y + x^2 = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x\,y + x^2 = C.

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