Resolver as seguintes equações diferenciais.
(1+x^2)dy - xy dx = 0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(1 + x^2)\,dy - x\,y\,dx = 0.
Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem, do tipo separável. Para resolver, vamos reescrever na forma \tfrac{dy}{dx}=f(x,y), depois separar variáveis e integrar.

Passo 2

Isolando dy e dx, obtemos
(1 + x^2)\,dy = x\,y\,dx \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{dy}{dx} = \frac{x\,y}{1 + x^2}.

Passo 3

Agora separamos as variáveis y e x:
\frac{1}{y}\,dy = \frac{x}{1 + x^2}\,dx.

Passo 4

Integramos dos dois lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{x}{1 + x^2}\,dx.
O lado esquerdo é \ln|y|. No lado direito, fazemos a substituição u=1+x^2, du=2x\,dx, logo
\int \frac{x}{1 + x^2}\,dx = \frac12 \int \frac{du}{u} = \frac12 \ln|u| = \frac12 \ln\bigl(1 + x^2\bigr).
Portanto
\ln|y| = \tfrac12 \ln\bigl(1 + x^2\bigr) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^C\,(1 + x^2)^{1/2}.
Escrevendo e^C como constante arbitrária C (podendo absorver o sinal), obtemos
y = C\sqrt{1 + x^2}, \quad C\in\mathbb{R}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y = C\sqrt{1 + x^2},
onde C é constante real arbitrária.

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