Resolver as seguintes equações diferenciais empregando o método dos operadores:
\left(D^{2}-4\right) y=x^{2} e^{x}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Enunciado: \left(D^{2}-4\right) y = x^{2} e^{x}.
  • O que nos dão: o operador diferencial linear com coeficientes constantes D^{2}-4 atuando sobre y, e o termo fonte (lado direito) é x^{2} e^{x}.
  • O que é pedido: encontrar a solução geral y(x) da equação diferencial, ou seja, uma função y que satisfaça essa igualdade para todo x.
  • Observação útil para organizar: a solução geral é a soma da solução geral da homogênea associada e de uma solução particular da equação não-homogênea.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada para obter y_h.
A equação homogênea é
\left(D^{2}-4\right) y = 0.
A equação característica é obtida trocando D por r:
r^{2}-4=0.
Resolvendo:
r=\pm 2.
Portanto as soluções independentes são e^{2x} e e^{-2x}. Assim a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1} e^{2x}+C_{2} e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Explicação rápida: para equações lineares com coeficientes constantes, buscar y=e^{rx} leva à equação polinomial característica; raízes reais r dão termos e^{rx}.

Passo 3

Reduzir o problema usando a propriedade de deslocamento dos operadores (método dos operadores) — explicar e aplicar.
Teorema de deslocamento (intuição e demonstração curta): para qualquer função u(x) e número a,
D\big(e^{ax}u(x)\big)=e^{ax}\big(D+a\big)u(x).
Isto porque
\frac{d}{dx}\big(e^{ax}u\big)=e^{ax}(u'+a u).
Aplicando isso duas vezes, obtém-se
D^{2}\big(e^{ax}u\big)=e^{ax}(D+a)^{2}u.
Em termos de operadores, conjugar por e^{ax} desloca D para D+a.
Aqui temos a=1, então tentamos a substituição
y=e^{x}u(x).
Calculamos a ação do operador sobre y:
\left(D^{2}-4\right)y = \left(D^{2}-4\right)\big(e^{x}u\big)=e^{x}\big((D+1)^{2}-4\big)u.
Desenvolvendo o operador interno:
(D+1)^{2}-4 = D^{2}+2D+1-4 = D^{2}+2D-3.
Portanto a equação original fica
e^{x}\big(D^{2}+2D-3\big)u = x^{2} e^{x}.
Como e^{x} é nunca nula, podemos dividir por e^{x} e obter a equação para u:
\label{eq:u} D^{2}u+2Du-3u = x^{2}.
Em termos mais usuais:
u''(x) + 2u'(x) - 3u(x) = x^{2}.
Comentário didático: o motivo de fazer y=e^{x}u é “fatorar” a parte exponencial e^{x} e transformar a parte exponencial do lado direito em coeficiente 1, levando a uma equação com termo não-homogêneo polinomial — muito mais fácil de tratar com um polinômio ansatz.

Passo 4

Escolher um ansatz (palpite) para uma solução particular u_{p} da equação transformada e justificar.
O lado direito de \eqref{eq:u} é um polinômio de grau 2. Para operadores lineares com coeficientes constantes, é natural tentar uma solução particular u_{p} que seja um polinômio de mesmo grau, desde que 0 não seja raiz da equação característica do operador transformado (caso contrário haveria ressonância e multiplicaríamos por x). Vamos verificar rapidamente a característica do operador D^{2}+2D-3:
r^{2}+2r-3=0 \quad\Rightarrow\quad r=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}\in\{1,-3\}.
Como r=0 não é raiz, não há ressonância com polinômios constantes/polinomiais, então podemos tentar
u_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
com A,B,C a determinar.
Agora calculemos as derivadas:
u_{p}'(x)=2Ax+B,\qquad u_{p}''(x)=2A.
Substituindo em \eqref{eq:u}:
u_{p}'' + 2u_{p}' -3u_{p} = 2A + 2(2Ax+B) -3(Ax^{2}+Bx+C).
Desenvolvendo:
2A +4Ax +2B -3Ax^{2} -3Bx -3C.
Agrupando por potências de x:
x^{2}:\\\ -3A,
x^{1}:\\\ 4A -3B,
x^{0}:\\\ 2A +2B -3C.
Isso deve ser igual ao polinômio do lado direito, que é x^{2}, ou seja,
-3A \cdot x^{2} + (4A-3B)\cdot x + (2A+2B-3C) = 1\cdot x^{2} + 0\cdot x + 0.
Igualando coeficientes de cada potência obtemos o sistema:
-3A = 1,
4A - 3B = 0,
2A + 2B - 3C = 0.

Passo 5

Resolver o sistema para A,B,C e obter u_{p} e y_{p}.
Da primeira equação:
-3A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac{1}{3}.
Usando na segunda:
4A - 3B = 0 \quad\Rightarrow\quad 4\left(-\tfrac{1}{3}\right) - 3B = 0
-\tfrac{4}{3} - 3B = 0 \quad\Rightarrow\quad 3B = -\tfrac{4}{3} \quad\Rightarrow\quad B = -\tfrac{4}{9}.
Usando A e B na terceira:
2A + 2B - 3C = 0 \quad\Rightarrow\quad 2\left(-\tfrac{1}{3}\right) + 2\left(-\tfrac{4}{9}\right) - 3C = 0.
Calcule os termos:
2\left(-\tfrac{1}{3}\right) = -\tfrac{2}{3},\qquad 2\left(-\tfrac{4}{9}\right) = -\tfrac{8}{9}.
Somando:
-\tfrac{2}{3} - \tfrac{8}{9} = -\tfrac{6}{9}-\tfrac{8}{9} = -\tfrac{14}{9}.
Portanto
-\tfrac{14}{9} - 3C = 0 \quad\Rightarrow\quad 3C = -\tfrac{14}{9} \quad\Rightarrow\quad C = -\tfrac{14}{27}.
Assim
u_{p}(x) = -\tfrac{1}{3}x^{2} - \tfrac{4}{9}x - \tfrac{14}{27}.
Voltando à variável original y com y = e^{x}u, obtemos a solução particular
y_{p}(x) = e^{x}\left(-\tfrac{1}{3}x^{2} - \tfrac{4}{9}x - \tfrac{14}{27}\right).

Passo 6

Escrever a solução geral e comentar brevemente.
A solução geral da equação original é a soma da homogênea y_{h} e da particular y_{p}:
y(x) = C_{1} e^{2x} + C_{2} e^{-2x} + e^{x}\left(-\tfrac{1}{3}x^{2} - \tfrac{4}{9}x - \tfrac{14}{27}\right).
Pequena verificação mental: cada termo está no formato esperado — expoentes 2 e -2 da homogênea e um termo e^{x} vezes polinômio de grau 2 para atender ao lado direito x^{2}e^{x}. Isso bate com a estratégia do método dos operadores.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+e^{x}\left(-\dfrac{1}{3}x^{2}-\dfrac{4}{9}x-\dfrac{14}{27}\right)

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