Resolver as seguintes equações diferenciais empregando o método dos operadores:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Enunciado:
. - O que nos dão: o operador diferencial linear com coeficientes constantes
atuando sobre , e o termo fonte (lado direito) é . - O que é pedido: encontrar a solução geral
da equação diferencial, ou seja, uma função que satisfaça essa igualdade para todo . - Observação útil para organizar: a solução geral é a soma da solução geral da homogênea associada e de uma solução particular da equação não-homogênea.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada para obter
.
A equação homogênea é
A equação característica é obtida trocando
por
:
Resolvendo:
Portanto as soluções independentes são
e
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação rápida: para equações lineares com coeficientes constantes, buscar
leva à equação polinomial característica; raízes reais
dão termos
.
Passo 3
Reduzir o problema usando a propriedade de deslocamento dos operadores (método dos operadores) — explicar e aplicar.
Teorema de deslocamento (intuição e demonstração curta): para qualquer função
e número
,
Isto porque
Aplicando isso duas vezes, obtém-se
Em termos de operadores, conjugar por
desloca
para
.
Aqui temos
, então tentamos a substituição
Calculamos a ação do operador sobre
:
Desenvolvendo o operador interno:
Portanto a equação original fica
Como
é nunca nula, podemos dividir por
e obter a equação para
:
Em termos mais usuais:
Comentário didático: o motivo de fazer
é “fatorar” a parte exponencial
e transformar a parte exponencial do lado direito em coeficiente 1, levando a uma equação com termo não-homogêneo polinomial — muito mais fácil de tratar com um polinômio ansatz.
Passo 4
Escolher um ansatz (palpite) para uma solução particular
da equação transformada e justificar.
O lado direito de
é um polinômio de grau
. Para operadores lineares com coeficientes constantes, é natural tentar uma solução particular
que seja um polinômio de mesmo grau, desde que
não seja raiz da equação característica do operador transformado (caso contrário haveria ressonância e multiplicaríamos por
). Vamos verificar rapidamente a característica do operador
:
Como
não é raiz, não há ressonância com polinômios constantes/polinomiais, então podemos tentar
com
a determinar.
Agora calculemos as derivadas:
Substituindo em
:
Desenvolvendo:
Agrupando por potências de
:
Isso deve ser igual ao polinômio do lado direito, que é
, ou seja,
Igualando coeficientes de cada potência obtemos o sistema:
Passo 5
Resolver o sistema para
e obter
e
.
Da primeira equação:
Usando na segunda:
Usando
e
na terceira:
Calcule os termos:
Somando:
Portanto
Assim
Voltando à variável original
com
, obtemos a solução particular
Passo 6
Escrever a solução geral e comentar brevemente.
A solução geral da equação original é a soma da homogênea
e da particular
:
Pequena verificação mental: cada termo está no formato esperado — expoentes
e
da homogênea e um termo
vezes polinômio de grau
para atender ao lado direito
. Isso bate com a estratégia do método dos operadores.