Sabendo que yp=-y1 integral y2 g(t)W(y1, y2) d t+y2 integral y1 g(t)W(y1, y2) d t encontre a solução geral das EDOs:
y^prime prime+y=tan t ; 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y''+y=tan t, no intervalo 0, usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar das soluções da homogênea e do Wronskiano para aplicar a fórmula dada.

Passo 2

A equação homogênea associada é y''+y=0. A equação característica é r^2+1=0, cujas raízes são r=pm i. Logo, as soluções fundamentais são y1=cos t e y2=sin t. A solução geral homogênea é yh=Acos t+Bsin t.

Passo 3

O Wronskiano de y1 e y2 é dado por
W(y1,y2)=cos t & sin t -sin t & cos t=cos^2t+sin^2t=1

Passo 4

Pela fórmula de variação de parâmetros temos
yp=-y1integraly2,g(t)Wdt+y2integraly1,g(t)Wdt,
onde g(t)=tan t e W=1. Então
yp=-cos tintegralsin ttan t,dt+sin tintegralcos ttan t,dt

Passo 5

Calculando as integrais:
integralsin ttan t,dt=integralsin^2tcos tdt=integral(sec t-cos t)dt=ln|sec t+tan t|-sin t,
integralcos ttan t,dt=integralsin t,dt=-cos t

Passo 6

Substituindo em yp:
yp=-cos tl(ln|sec t+tan t|-sin tr)+sin t(-cos t)= -cos tln|sec t+tan t|

Resposta

A solução geral da EDO é
y(t)=Acos t+Bsin t-cos tlnl(sec t+tan tr),0

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