Resolver as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial ordinária de terceira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para a parte não homogênea usando métodos de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as raízes dessa equação característica. Testando
:
Então,
é uma raiz. Podemos fatorar a equação como
, ou seja:
Isso nos dá as raízes
,
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
,
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação original. Como o lado direito é
e
já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar a duplicação. Assim, assumimos uma solução particular da forma:
Passo 6
Calculamos as derivadas necessárias de
:
Passo 7
Substituímos
,
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando os termos:
Passo 8
Igualando os coeficientes, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: