Resolver as seguintes equações diferenciais ordinárias:
y^prime prime prime-y^prime prime-4 y^prime+4 y=e^2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y''' - y'' - 4y' + 4y = e^2t. Essa é uma equação diferencial ordinária de terceira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para a parte não homogênea usando métodos de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é y''' - y'' - 4y' + 4y = 0. Para isso, montamos a equação característica substituindo y por e^rt:
r^3 - r^2 - 4r + 4 = 0

Passo 3

Agora, vamos encontrar as raízes dessa equação característica. Testando r = 1:
1^3 - 1^2 - 4(1) + 4 = 1 - 1 - 4 + 4 = 0
Então, r = 1 é uma raiz. Podemos fatorar a equação como (r - 1)(r^2 + 0r - 4) = 0, ou seja:
(r - 1)(r^2 - 4) = 0
Isso nos dá as raízes r = 1, r = 2 e r = -2.

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yc(t) = C1 e^t + C2 e^2t + C3 e^-2t
onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação original. Como o lado direito é e^2t e e^2t já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por t para evitar a duplicação. Assim, assumimos uma solução particular da forma:
yp(t) = A t e^2t

Passo 6

Calculamos as derivadas necessárias de yp(t):
yp' = A e^2t + 2A t e^2t
yp'' = 4A t e^2t + 4A e^2t
yp''' = 8A t e^2t + 12A e^2t

Passo 7

Substituímos yp, yp', yp'' e yp''' na equação diferencial original:
(8A t e^2t + 12A e^2t) - (4A t e^2t + 4A e^2t) - 4(A e^2t + 2A t e^2t) + 4A t e^2t = e^2t
Simplificando os termos:
(8A t e^2t + 12A e^2t) - 4A t e^2t - 4A e^2t - 4A e^2t - 8A t e^2t + 4A t e^2t = e^2t
(8A t e^2t - 4A t e^2t - 8A t e^2t + 4A t e^2t) + (12A e^2t - 4A e^2t - 4A e^2t) = e^2t
0 + 4A e^2t = e^2t

Passo 8

Igualando os coeficientes, temos:
4A = 1 Rightarrow A = 14

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^t + C2 e^2t + C3 e^-2t + 14 t e^2t

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